Vierecke im Dreieck: Mathematikolympiade 2012

Hallo. Leider komme ich bei einer Aufgabe nicht so genau weiter. Würde sie sehr gerne lösen, ein Muss ist es zwar nicht, schön wär`s trotzdem.


Eigene Anätze habe ich auch, die mir aber irgendwie nicht allzu viel helfen momentan.

"Ein Dreieck wurde vollständig in Vierecke zerlegt. Die Eckpunkte dieser Vierecke sind somit die
drei Eckpunkte des Dreiecks, Punkte auf den Seiten des Dreiecks sowie Punkte im Inneren des
Dreiecks. Auf dem Rand jedes dieser Vierecke liegen genau vier dieser Eckpunkte. Zerlegungen
mit „verkappten“ Fünf- oder anderen Vielecken sind nicht zugelassen." -> Dazu hab ich in GeoGebra ein Dreieck erstellt und das mal in Vierecke unterteilt.

a)" Beweisen Sie: Wenn ein Dreieck in n Vierecke zerlegt wurde und wenn i Punkte im
Inneren des Dreiecks, r Punkte auf den Seiten des Dreiecks sowie die drei Eckpunkte des
Dreiecks sämtliche Eckpunkte dieser Vierecke sind, dann gilt

n= i+ (r+1)
         2


Ich habe überlegt, zu wie vielen Vierecken ein solcher Punkt ( r,i und die Eckpunkte des Dreiecks) gehören kann. Jedoch kann man sozusagen unendlich viele Vierecke einzeichnen (?!). Und (somit...) ist auch nicht festegelgt, zu wie vielen Vierecken ein solcher Punkt gehört. Wo liegt mein Fehler?
Ein weiter Gedanke war, zu überlegen, wie viele Eckpunkte es insgesammt sind, was eigentlich dem Gedanken von vorhin gleicht. Also ein Viereck hat 4 Ecken, d.h wir haben 4*n Ecken.
Gedankengewusel. Hilft mir da bitte jemand weiter?


b)" Wir bezeichnen ein Viereck als konkav, wenn es einen Innenwinkel besitzt, der größer als
180° ist.
Untersuchen Sie, ob es möglich ist, ein Dreieck in eine endliche Anzahl nur von konkaven
Vierecken zu zerlegen."


Ein solches Viereck könnte nur im Inneren des Dreiecks gebildet werden, oder liege ich da falsch?
Dazu bräuchte ich jetzt aber die Anzahl aus a der Vierecke die entstehen können m.H des Punktes i.

Danke.

Leider hab ich nicht genügend Credits zum verschenken ._.


Liebe Grüße,
LilaPalme99.

Ps: Wie gesagt, ihr müsst keine Lösung hinschreiben, sondern mir einfach helfen.