Extrema von mehrdimensionalen Funktionen

Zitat:
Wie kommst du auf: D²f(+-sqrt(y),+-sqrt(y))

Das ist mein Punkt, den ich untersuchen will. Da fällt schon nichts weg ^^ das ist nur D²f an der Stelle +-sqrt(y).

Naja wenn ich das gleichsetze kommt aber etwas sehr komisches ^^ Und wieso x,y aus R ohne 0?

x² = y und y² = x

Setze ich zweite in die erste ein:

x^4 = x <=> x^4 - x = 0 => x(x^3-1) = 0 => x1 = 0

=> x^3 -1 = 0 => x2 = 1

so gut bis dahin habe ich das ja auch.

Also muss ich nun die Hesse Matrix aufstellen.

D²f(x,y) = 3* (2x, -1; -1,2y)

Und die will ich ja in (1,1) untersuchen. Also kommt da raus:

D²(1,1) = 3* (2,-1;-1, 2) = (6, -3; -3; 6)

Davon die Eigenwerte:

cp(t) = det(6-t, -3; -3; 6-t) = (6-t)² - 9 = 27 -12t +t²

Davon die Nulstellen: t1 = 3, t2 = 9

Also Matrix ist positiv definit => Hochpunkt in (1,1) an der Stelle -1


ABER es gilt doch auch:

grad(f(0,0)) = 0 oder täusche ich mich? Dann hätte ich dort auch noch einen kritischen Punkt. Also müsste ich:

D²f(0,0) = 3* (0, -1; -1,0) = (0,-3;-3;0)

EW berechnen:

cp(s) = det(-s,-3;-3,-s) = s² -9

und dann würde ich bekommen: s1 = 3 s2 = -3

Also ist die Matrix indefinit. Müsste ich nicht jetzt weiter untersuchen, weil mir das keine Auskunft gibt?


PS:

Zitat:
Ich würde so vorgehen:
x^4=x <=> x^3=1 <=> x=dritte sqrt(1) <=> x=1

Hier muss man doch sagen x,y ohne 0, sonst teilst du hier durch 0 ^^

"Zitat:
Ich würde so vorgehen:
x^4=x <=> x^3=1 <=> x=dritte sqrt(1) <=> x=1


Hier muss man doch sagen x,y ohne 0, sonst teilst du hier durch 0 ^^ "

Klar, stimmt ja, also doch hinschreiben, dass x,y ¤ IR{0}, zumindest für die Berechnung. ^^ Aber denk dran, dass es :x in der Mathematik nicht mehr gibt :-D das heißt doch jetzt * 1/x

Klar kann auf Grad(f(0,0))=0 sein bzw ist es ja ;-)
In meiner ersten Antwort hatte ich bereits geschrieben, dass wenn deine Hesse-Matrix semidefinit ist, du einen Sattelpunkt hast. Du hast also sehr wohl eine Aussage darüber getroffen, ob es ein lokales Extrema ist, oder nicht ;-)