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Extrema von mehrdimensionalen Funktionen

Frage: Extrema von mehrdimensionalen Funktionen
(6 Antworten)


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f: R² -> R mit f(x,y) = x³ + y³ -3xy

Ich soll alle kritischen Punkte und lokalen Extrema berechnen.


Also erstmal Gradienten bilden:

grad(f(x,y)) = 3*(x²-y, y²-x)

Nun gilt ja: grad(f(x,y)) = 0 zu bestimmen. Doch kriege ich dort ja: x = +- sqrt(y) und y = +- sqrt(x) heraus. Setze ich jetzt einfach für x einen Wert ein oder gehe ich damit weiter:


D²f(x,y) = 3* (2x, -1; -1,2y)

Und nun unteresuche ich:

D²f(+-sqrt(y),+-sqrt(y)) oder wie gehe ich weiter vor?
Frage von shiZZle | am 19.06.2012 - 21:53


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Antwort von clemens1992 (ehem. Mitglied) | 19.06.2012 - 22:15
Ich lerne das ja auch gerade erst. Also sry, falls ich jetzt auch irgendwelche Fehler reinhaue.


"x = +- sqrt(y) und y = +- sqrt(x)": Kann man hier nicht einfach die eine Gleichung in die andere einsetzen? Wichtig ist aber auf jeden Fall, dass du schreibst, das x,y € IR{0}. Du sollst die Extrema ja nicht für Einzelfälle betrachten, sondern i.A.

Wie kommst du auf: D²f(+-sqrt(y),+-sqrt(y)) ? Du hast doch deine D²f(x,y) richtig definiert, nämlich als 3*(2x, -1; -1, 2y).
Aber dein D²f ist immer noch eine Matrix. Wieso fällt bei dir denn die -1 jeweils weg?
Du musst nun gucken, ob die D²f(x0) positiv definit => isoliertes Minimum
negativ definit => isoliertes Maximum ist.
Sollte die Matrix indefinit sein, befindet sich an der Stelle ein Sattelpunkt.


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Antwort von shiZZle | 19.06.2012 - 22:20
Zitat:
Wie kommst du auf: D²f(+-sqrt(y),+-sqrt(y))


Das ist mein Punkt, den ich untersuchen will. Da fällt schon nichts weg ^^ das ist nur D²f an der Stelle +-sqrt(y).

Naja wenn ich das gleichsetze kommt aber etwas sehr komisches ^^ Und wieso x,y aus R ohne 0?

x² = y und y² = x

Setze ich zweite in die erste ein:

x^4 = x <=> x^4 - x = 0 => x(x^3-1) = 0 => x1 = 0

=> x^3 -1 = 0 => x2 = 1


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Antwort von clemens1992 (ehem. Mitglied) | 19.06.2012 - 22:36
"Das ist mein Punkt, den ich untersuchen will. Da fällt schon nichts weg ^^ das ist nur D²f an der Stelle +-sqrt(y)."

Ah, ok ^^

"Und wieso x,y aus R ohne 0?"

Kann man die Wurzel aus Null ziehen?

"x^4 = x <=> x^4 - x = 0 => x(x^3-1) = 0 => x1 = 0

=> x^3 -1 = 0 => x2 = 1"

Ich würde so vorgehen:
x^4=x <=> x^3=1 <=> x=dritte sqrt(1) <=> x=1

Das wiederum eingesetzt in y=sqrt(x)

y=sqrt(1) <=> y=1

=> Grad(f(1,1))=0

Edit: gut, dann kann man forall x,y € IR{0} natürlich weglassen ;-)


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Antwort von shiZZle | 19.06.2012 - 23:23
so gut bis dahin habe ich das ja auch.

Also muss ich nun die Hesse Matrix aufstellen.

D²f(x,y) = 3* (2x, -1; -1,2y)

Und die will ich ja in (1,1) untersuchen. Also kommt da raus:

D²(1,1) = 3* (2,-1;-1, 2) = (6, -3; -3; 6)

Davon die Eigenwerte:

cp(t) = det(6-t, -3; -3; 6-t) = (6-t)² - 9 = 27 -12t +t²

Davon die Nulstellen: t1 = 3, t2 = 9

Also Matrix ist positiv definit => Hochpunkt in (1,1) an der Stelle -1


ABER es gilt doch auch:

grad(f(0,0)) = 0 oder täusche ich mich? Dann hätte ich dort auch noch einen kritischen Punkt. Also müsste ich:

D²f(0,0) = 3* (0, -1; -1,0) = (0,-3;-3;0)

EW berechnen:

cp(s) = det(-s,-3;-3,-s) = s² -9

und dann würde ich bekommen: s1 = 3 s2 = -3

Also ist die Matrix indefinit. Müsste ich nicht jetzt weiter untersuchen, weil mir das keine Auskunft gibt?


PS:
Zitat:
Ich würde so vorgehen:
x^4=x <=> x^3=1 <=> x=dritte sqrt(1) <=> x=1


Hier muss man doch sagen x,y ohne 0, sonst teilst du hier durch 0 ^^


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Antwort von v_love | 19.06.2012 - 23:29
"Müsste ich nicht jetzt weiter untersuchen, weil mir das keine Auskunft gibt?"

ne, ist die matrix an einer kritischen stelle x indefnit, so ist x kein lokales extremum.

sieht man auch, wenn man taylor´t; das vorzeichen von dem restglied hängt dann echt von der richtung ab, mit der man sich x annähert.


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Antwort von clemens1992 (ehem. Mitglied) | 19.06.2012 - 23:32
"Zitat:
Ich würde so vorgehen:
x^4=x <=> x^3=1 <=> x=dritte sqrt(1) <=> x=1


Hier muss man doch sagen x,y ohne 0, sonst teilst du hier durch 0 ^^ "

Klar, stimmt ja, also doch hinschreiben, dass x,y € IR{0}, zumindest für die Berechnung. ^^ Aber denk dran, dass es :x in der Mathematik nicht mehr gibt :-D das heißt doch jetzt * 1/x

Klar kann auf Grad(f(0,0))=0 sein bzw ist es ja ;-)
In meiner ersten Antwort hatte ich bereits geschrieben, dass wenn deine Hesse-Matrix semidefinit ist, du einen Sattelpunkt hast. Du hast also sehr wohl eine Aussage darüber getroffen, ob es ein lokales Extrema ist, oder nicht ;-)

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