Extrema

man kann sicherlich mit elementaren mitteln zeigen,
dass es genau 2 extrema gibt. die zu berechnen wird analytisch allerdings relativ schwierig.

wie ginge was ... ?

die existenz genau zweier extrema meinst du?

dafür brauchst du nur zu zeigen, dass f` genau 2 nullstellen mit VZW hat.
dafür könntest du 1) zeigen f` hat 2 nullstellen, 2) f` hat höchstens 2 nullstellen, 3) die nullstellen sind einfach.

1) such dir ein kompaktes intervall [a;b] mit f(a)=-c*f(b), c>0, b>a.
dann liegt sicherlich eine nullstelle in [a;b] (nach ZWS), dann suchst du dir analog ein anderes intervall disjunkt zum ersten.
2)strenge monotonie auf I, und J zeigen (mit I disjunkt vereingt J=R)
aus strenger monotonie folgern: in I und J gibt es höchstens eine nullstelle (am einfachsten vielleicht durch widerspruch)
3) folgt aus strenger monotonie in I und J.