Gradient einer Funktion
Frage: Gradient einer Funktion(15 Antworten)
Wie man den Gradienten bildet ist mir klar. Habe nur folgendes Problem erstmal: Zitat: Aufgabe 3: welche Funktion ist gemeint? Also berechnen soll ich ja: grad(r^(2-n))(x) Wobei r(x) = sqrt(<x,x>) Also müsste es doch so sein oder: grad(sqrt(<x,x>)^(2-n)) oder? Also ich soll den Gradienten der Funktion: sqrt(<x,x>)^(2-n) bilden Analog auch für grad(log(r))(x) = grad(log(||x||)) also Funktion ist log(||x||) oder? Ach wenn ich schonmal dabei bin, habe ich noch eine Frage: Aufgabe 2: ICh bilde die partiellen Ableitungen. Nun leite ich diese wieder ab und muss doch nur noch zeigen, dass Lemma von Schwarz nicht gilt (symmetrie) oder? Und weils so schön ist: Aufgabe 3: Zitat: Soll die MAtrix in Jordan-Normalform bringen. Doch ist das ausrechnen des Char. Polynoms so zeitaufwendig. Habe mir also überlegt: Charakteristisches Polynom muss vom Grad 4 sein: cp(x) = t^4 - a_1*t³ + a_2*t² -a_3*t + a_4 Da aber det(A) = 0 und die Spur auch 0 sind. Weis ich ja schonmal das es so aussehen muss: cp(x) = t^4 + a_2*t² -a_3*t => Ein Eigenwert ist 0 Kann ich jetzt noch irgendwie auf a_2 und a_3 schließen? |
| Frage von shiZZle | am 15.06.2012 - 19:19 |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 13:31 |
"Nun leite ich diese wieder ab und muss doch nur noch zeigen, dass Lemma von Schwarz nicht gilt (symmetrie) oder?" du musst eigentlich nur sehen, dass die beiden partiellen ableitungen nicht gleich sind, was man natürlich sofort sieht, wenn man das ausgerechnet hat. daraus könnte man wieder folgern, dass f nicht stetig diffbar ist. "Doch ist das ausrechnen des Char. Polynoms so zeitaufwendig." zeitaufwendig ist was anderes ...  wenn man das wirklich machen will, geht das in 5 min. |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 13:33 |
Aber wieso müssen die partiellen Ableitungen denn gleich sein? Immerhin ist doch z.B: f(x,y) = x*y² auch nicht gleich, wenn ich es part. Ableite. |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 14:03 |
"Aber wieso müssen die partiellen Ableitungen denn gleich sein?" sie müssen nicht, ist ja auch hier nicht der fall. in deinem beispiel sind die ableitung allerdings (natürlich) gleich - und zwar gleich 0. |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 14:37 |
wiesso denn gleich 0? Mano man diese neuen Ableitungsverfahren muss ich mir echt mal langsam in den Schädel bekommen. immerhin wäre doch nach x abgeleeitet: fx(x,y) = y² und nach y: fy(x,y) = 2x*y |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 14:53 |
jaja, es geht hier aber um die part. ableitungen 2 ordnung, d_12, d_21. |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 15:20 |
Zitat: Also ging es dort um die Ableitungen 2ter Ordnung? |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 15:23 |
ja |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 15:42 |
Das lustige ist aber, dass die Ableitungen hier gerade gleich sind, außer im Punkt (0,0). Aber egal. Habs jetzt richtig verstanden. Was ich immer noch nicht verstehe, ist, wie man sowas ableitet: f(x) = sqrt(<x,x>)^(2-n) sowas bringt mich irgendwie in verwirrungen. Zumal ich hier ja eigentlich auch nur partiell ableiten müsste, doch hier ist es dennoch irgendwie anders. verstehe ich nicht ganz |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 15:51 |
"Das lustige ist aber, dass die Ableitungen hier gerade gleich sind, außer im Punkt (0,0)." mir ging es auch nur um (0,0), alles andere ist sowieso uninteressant, weil f dort offensichtlich unendlich oft diffbar ist. und bei berechnung von grad r^(2-n) muss man nur kettenregel anwenden, dann kommt man auf (d/dr r^(2-n))(x)*x/||x|| |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 19:02 |
wie hast du jetzt genau die kettenregel angewendet? Und wie soll man jetzt hier d/dr r^(2-n))(x)*x/||x|| berechnen? Das ist ja immer noch kein gradient. ICh finde das alles sehr merkwürdig. Ich weiß bisher, dass das hier gilt: d/dx ||x|| ) x_i/||x|| |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 19:53 |
"Das ist ja immer noch kein gradient" eben - das ist nur noch eine gewöhnliche ableitung. wie das geht, weiß man aus der schule. |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 20:59 |
wie man das ableiter weis ich ja auch ^^ Ich frage mich nur wie du auf die Verkettung kommst. ich war hier: r^(2-n) = ||x||^(2-n) = ||x||²*||x||^(-n) Wie bringst du das jetzt in deine neue Form? |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 21:41 |
"wie man das ableiter weis ich ja auch" nun ja, eigentlich hast du aber gefragt, wie man die ableitung berechnet "Wie bringst du das jetzt in deine neue Form?" wie gesagt ist das nur kettenregel, und zwar n mal (eindimensional) für jede partielle ableitung, die i-te partielle ableitung der norm von x ist dabei x_i/||x||. |
| Antwort von shiZZle | 17.06.2012 - 22:45 |
Habe als Ableitung jetzt raus: (2-n)*x_i/||x||^n Wen ich das jetzt für jede mache ist das natürlich (2-n)*x||x||^n doch du bist ja relativ schnell auf: d/dr r^(2-n))(x)*x/||x|| gekommen. Ich musste jetzt durch umwege auf die Lösung. Verstehe leider nicht wie du direkt auf diese Umformung kommst. Finde es aber höchst interessant und würde gerne wissen, wie das funktioniert. Du meinst Kettenregel, doch kommt das bei mir nie raus. |
| Antwort von v_love | 17.06.2012 - 22:53 |
sei f aus C^1(R) und r=||x||, x aus R^n, dann ist allgemein (grad f(r))(x)=(d/dr f(r))(x)*(grad r)(x)=(d/dr f(r))(x)*x/||x||, was nichts anderes als die kettenregel für diesen speziellen fall ist. |
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