Ungleichung beweisen

Also soll ich quasi so vorgehen:

1. Schritt: Zeige ||A²||<= ||A||*||A|| = ||A||²

2. Schritt: Dreiecksungleichung bzgl was? Wurzel reinziehen?

3. Schritt: Positive Summanden reinschreiben, wahrscheinlich welche für b. Doch wie genau soll man die darein hauen?

Sind diese Schritte noch auf Schritt 1 bezogen oder schon auf die ganze Aufgabe wieder mit B?

||AB||² = sum(i,j=1 bis n) |sum(k=1 bis n) a_k,j *b_i,k|² <= sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² *|b_i,k|²

Nun soll ich ja pos. Summanden einschieben. Doch wie kriege ich dadurch die Summe von k=1 bis n weg?

sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² *|b_i,k|² <= sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² * sum(k=1 bis n)|b_i,k|²

Kann ich nun die erste Summe einfach weglassen? Eigentlich ja nicht oder? Weil dann würde ich wieder drunter liegen.

Achso. Ja dann versuchen wir es mal anders:

sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² *|b_i,k|² <= sum(k=1 bis n) sum(i,j=1 bis n) |a_k,j|² * sum(i,j=1 bis n) |b_i,k|² = sum(k=1 bis n) ||A||² * ||B||²

Ahhh diese dumme Summe mit k ^^

Zitat:
dann pos. summanden einschieben: in der art summe |a1k||bk1|<=summe |a1k||bj1|

Also hier ist ja noch alles gut: sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² *|b_i,k|²

Wenn ich nun deinen Rat befolge, dann habe ich:

<= sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_k,j|² *|b_i,j|² = sum(i,j=1 bis n) |b,i,j|² * sum(k=1 bis n) |a_k,j|²

Hier das dürfte ja auch noch richtig sein. Ja mein letzter Post war mist.

Also ich war jetzt soweit:

sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_i,k|²*|b_k,j|²

Und haben will ich ja: sum(i,j=1 bis n) |a_i,k|² * sum(i,j =1 bis n) |b_k,j|²

Wäre das denn das gleiche wie: sum(k,i=1 bis n) |a_i,k|² * sum(i,j =1 bis n) |b_i,j|² ?

Wenn ja könnte ich das doch so machen:

sum(i,j=1 bis n) sum(k=1 bis n) |a_i,k|²*|b_k,j|² <= sum(i,j=1 bis n) sum(k,i =1 bis n) |a_i,k|² * |b_i,j|²

Denn das hast du ja auch gemacht mit: sum a_1,k * b_k,1 < sum a_1,k * b_j,1 (hast k durch j ersetzt in b)

Weil dann kann ich ja:

sum(i,j=1 bis n) sum(k,i =1 bis n) |a_i,k|² * |b_i,j|² = sum(k,i=1 bis n) |a_i,k|² * sum(i,j=1 bis n) |b_i,j|²

So habs jetzt endlich. Man ist das ne Qual mit den Indizes.

Habe aber mal eine andere Frage:

Ich soll beweisen: Sei A aus M(R)_n,n Matrix. Zeige:

det(A)² <= Produkt (i=1 bis n)(sum(k=1 bis n) A²_k,i)

Also eigentlich sowas wie Hadamard Ungleichung.


Ich habe mir folgendes gedacht. Wills nur mal kurz skizzieren:

det(A)² = Vol(v1,..,v_m)² <= (||v1|| *...*||v_m||)² = (Produkt(i=1 bis m) ||v_i|| )² <= Produkt(i=1 bis m) ||v_i||²

da ||v_i|| = sqrt(sum v_i²) ist, kann ich ja das einsetzen und bekomme:

Produkt(i=1 bis m) (sqrt(sum v_i²))² = Produkt(i=1 bis m) sum v_i²

So ungefähr würde meine Idee aussehen. Leider hackt es noch an einigen Stellen. Z.b.:

det(A) = Vol(v1,..,v_m)

Wir haben das bisher nur für bestimme MAtrizen in der Vorlesung definiert. Also eine Matrix A, die durch ein Skalarprodukt definiert ist. Aber ich brauche es ja hier für alle Matrizen. Kann man das irgendwie auf die schnelle zeigen?

Sorry hatte mich verschrieben. Hast natürlich recht mit ||v_i||²

Back to topic:

Naja Hadamard UG haben wir zwar eingeführt, aber diese habe ich ja wie du siehst schon angewendet. Zumal sie bei uns so eingeführt wurde:





Und da das Volumen ja gleich der Wurzel der Gramm-Schmidt Determinante ist, dachte ich, ich gehe vielleicht darüber. Aber dafür müsste meine Matrix ja als Skalarpr. definiert sein. Doch hier ist A allgemein definiert.




Deswegen habe ich mir halt überlegt, ob ich nicht irgendwie beweisen kann, das det(a) = Vol(v1,..vm) ist. Habe auch schon etwas über QR-Zerlegung gelesen, doch wurde bei uns leider noch nicht eingeführt.