Orthonormalbasis bilden nach Gramm-Schmidt

Dann hab ich wohl die falsche Formel gefunden. Hab jetzt mal umgedacht, also:

u2 = v2 - <v2,u1>/||u2|| *u1

mit v als vektor der geordneten Basis und u2 als Vektor der ONB


u3 = v3 - <v3,u1>/||u3||*u1 -<v3,u2>/||u3|| * u2


Beim Normieren gilt doch aber: ||x|| = sqrt(<x,x>) also muss ich doch auch das Skalarprodukt verwenden mit dem Integral wie es hier vorgegeben ist und NICHT das kanonische Skalarprodukt oder?

Das das ein skalarprodukt ist, ist ja klar. Man hat durch b ja positiv Definit bewiesen. Also muss ich dann quasi auch mit dem Integral beim Normieren arbeiten.

u1 ist nicht auf 1 normiert, und u3=sqrt(5/2)*P2(t), wobei P2 das legendre-polynom 2ten grades ist.. (stimmt bei dir auch nicht)

"Legendre Polynom wurde noch nicht eingeführt."

ist egal, mir ging´s nur um die lösung.

"u1 = 1/2 müsste es sein."

auch nicht, |u1(x)|²=1/4, also ||u1||²=1/2.

Wie funktioniert das eigentlich mit dem polynom in Legendre? Also woher kriegst du bei u3 deine sqrt(5/2)?

die legendrepolynome sind via P_n(1)=1 normiert.

das erklärt natürlich nicht den vorfaktor, macht aber plausibel, wieso es nicht 1 ist oder nicht 1 sein muss.
um den vorfaktor zu erklären, muss man sich die genaue def. anschauen. das ist für die aufgabe aber völlig irrelevant, ich wollte nur die lösung hinschreiben.

(polynome, die orthogonal bezüglich eines skalarprodukts <f|g>=int k*f*g dx mit einem geeigneten k=k(x) sind, begegnen einem einem, insbesondere bei speziellen problemen der physik, rel. häufig, und zwar sind das lsg. eines rand-eigenwert-problems eines so genannten sturm-liouville-operators, die man durch durch "herkömmliche" methoden, wie z.b. trennung der variablen, variation der konstanten, etc. nicht knacken kann. deshalb kann ich sofort die lösung auch angeben, ohne irgendwas zu rechnen.)

ja