Mathe Analysis Ü-Blatt

"Habe nun das letzte Polynom genommen und gezeigt, dass es gegen 0 konvergiert für n gegen unendlich."

was für ein letztes polynom?

du meinst den letzten summanden in deiner endlichen summe?

damit hast du nichts gezeigt, zumindest nicht das, was z.z.
ist.
beachte einfach den tipp, sowie die gleichmäßige beschränktheit der folge (f^(n)), wobei f(x)=cos(x)

"|f(x)-0| = |1/(n+1)*(1-1/(n+1))^n| < |1/n * 1/e| < |1/n_0 * 1/e| < epsilon"

ist so natürlich falsch.

besser: ||f-0||=1/(n+1)-->0 für n-->unendlich, wobei ||.|| die supremumsnorm auf [0,1] sein soll.

zu 3b)
wähle um punktweise konvergenz z.z. x aus [0,1] fest und zeige, das für dieses x die folge a(n):=g_n(x) konvergiert, z.b. x=1: gn(x)=0, also konvergent, genau so für x=0. für x aus (0,1) muss man sich was schlaueres einfallen lassen, z.b. quotientenkriterium mit trivialkriterium.
c) ist ähnlich. für x=0 ist die folge sowieso 0, für x<>0 beachtet man, dass polynom schwächer konvergieren als exp.
was die glm. konvergenz anbetrifft kann man wieder ||g(n)|| anschauen und feststellen, dass dies nun gegen 1 konvergiert (oder man betrachtet g_n(1/n), wie auf dem blatt hingeweisen)

"a) Wenn f_n und g_n gleichmäßig konvergiert, dann gilt doch:

|f_n(x) - f(x)| < epsilon/2 analog für g_n

also folgt: |f_n(x)+g_n(x) - f(x)-g(x)| < |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon"

sagen wir so: du würdest dafür von mir 0,5/2 punkte kriegen
einfach zu ungenau, so kann man auch explizit nur die pktw. konvergenz zeigen.