Mathe Analysis Ü-Blatt

3d) Also veranschaulicht habe ich es mir jetzt. Also nehme ich quasi die 0 raus, damit ich "neue" Maximums" bekomme? Das sich die Maximas gegen unendlich ziehen, habe ich verstanden, doch wieso hebt sich das aus, wenn die 0 rausgehauen wird?


Zusatz a)

Hab das selbe jetzt mit Supremumsnorm gemacht. Dafür ist es ja nicht pktw. definiert:

||fn-f|| -> 0

||gn-g|| -> 0

0<= ||fn-f + gn-g|| <= ||fn-f|| + ||gn-g|| -> 0

Also betrachte ich ein neues Intervall mit z.B. [a,b] mit 0<a<b

Nun zeigen, dass es dann gleichmäßig gegen 0 konvergiert:

||n*x*e^(-nx²)|| < ||n*b*e^(-nb²)|| = ||n*b/e^(nb²)|| -> 0

=> Glm. Konvergent für x aus [a,b]

||n*x*e^(-nx²)|| < n*b*e^(-na²) = n*b/e^(na²) -> 0

jetzt müsste es gehen.

Das liegt doch daran, dass 0<a<|x|

=> nae^(-na²)= na/e^(na²) >= nx/e^(nx²)

Nochmal von neu. Also ein Intervall mit 0 ist das Supremum klar mit x = 1/sqrt(2n)

Nehme ich nun eins ohne Null, wie z.B.: I=[a,b] , 0<a<b

Und mein x = 1/sqrt(2n) ist in I, dann ist es dort noch mein Supremum. Ist x = 1/sqrt(2n) nicht mehr drin, dann muss es doch das kleinere sein. Also a.

Achso stimmt, das muss sich rum drehen. Also: na/e^(na²) <= nx/e^(nx²)

Ja dann muss es aber ein x_I geben zwischen a und b, für dass das ganze Maximal wird. Doch das ist ja nicht bekannt. Wie kriege ich also das Supremum, sodass dass gegen 0 läuft.

Alles klar werds mal versuchen. Was sagste zu meiner Zusatzaufgabe die ich auch gespotet habe eben? Bei der zweiten Zusatzaufgabe klappts noch nicht ganz. Wieso muss das unbedingt eine Schranke haben?

Mir ist klar, wenn es eine Schranke hat, dann kann man so vorgehen:

||f_n*g_n - fg|| <= ||f_n - f||*||g_n|| +||g_n-g||*||f|| <= ||f_n-f||*K +||g_n-g||*||f|| -> 0

mit ||g_n||<= K

Danke dir. So ist jetzt aber spät geworden. Will jetzt schlafen.
Dir noch eine gute Nacht.

Ach ja falls du noch antwortest. Eine frage habe ich noch. Habe hier eine bilinearform mit zugehöriger Matrix und muss zeigen dass es positiv definit ist. Gibt es dafür irgendwelche Kriterien?

ok, hab mir mal die aufgabe angeguckt. das geht einfacher: sei f<>0, dann benutze die stetigkeit von f und fertig.

edit: du kannst aber natürlich auch die eigenwerte der darstellenden matrix berechnen, wie im ersten post beschrieben. (dachte erst, dass mit einer matrix irgendwie eine bilinearform definiert wird; wenn es aber die darstellende matrix der form ist bzw. auf kan. weise (x,y)-->x^tAy die form über die matrix A definiert wird, kannst du immer von den eigenwerten von A auf die definitheit der form schließen. ist aber nicht immer das einfachste)

egal was f ist (f muss nicht unbedingt einer der 4 fkt. sein), f ist auf jeden fall stetig.

(beachte übrigens die ergänzung im letzten post)