Volumen einer Kugel

hast
du Ahnung von Integralen?

ok dann wirds etwas schwer zu erkären sein. Mit einem Integral berechnet man die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Mit einem Volumenintegral kann man das Volumen des Körpers berechnen, der entsteht wenn man den Graph um die x-Achse rotieren lässt.

Naja wenn man die Kreisgleichung (f(x)=(r²-x²)^0,5) dort einsetzt und auflöst ist es das Volumen des Kreises.

So grob erklären kann man es auch wenn man die Kugel betrachtet. Also die Fläche eines Kreises ist Pi*r². Das Volumen ist ja Grundfläche mal Höhe. Daher muss man die Kreisfläche noch mit r multiplizieren. Damit würde man jedoch einen Zylinder berechnen. Deswegen benötigt man den Faktor 4/3. An der Formel Pi*r³ (für einen Zylinder) muss man halt bedenken das der Radius am Ende des Kreises immer kleiner wird, aber wir haben nur mit r als Höhe gerechnet, eigentlich sind es ja 2 r. Daraus resultiert dann der Faktor 4/3. Wie man so den Faktor genau berechnen kann weiß ich nicht, denke mal die erste Herleitung der Formel war auch über ein Integral

Hoffe du hasts verstanden, ist etwas blöd zu erklären^^

gute Frage also ich kenne die Herleitung wirklich nur über das integral, daher wüsste ich auch nicht wieso man es anders bestimmen sollte. Man könnte aber auch mal ne halbe Kugel betrachten und das dann vielleicht über die Wasserverdrängung machen oder so.

hab gerade noch was gefunden, ließ es dir mal durch. Wenn du dannach noch fragen hast helf ich dir gerne weiter

http://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-des-Kugelvolumens

Die Seite hab ich mir schon angeguckt, auch viele andere.
Und ich verstehe auch, wie ich das ausrechne und so.
Aber ich soll jetzt die Formel erklären.
Wieso man mal PI rechnet wieso radius hoch 3. und wieso 4/3..
Und das kann ich eben nicht erklären, deshalb frag ich ;)

Der Faktor 4/3 für einen ganzen Kreis steht doch fest oder?
Also der verändert sich nicht. oder doch?

Zitat:
Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius r und Höhe r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius r und Höhe r entfernt.

Eine Kreisfläche berechnet man mit r^2 * pi

Das Volumen eines Zylinders ist pi* r^2 * r | so entsteht r^3

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 pi*r^2 *r | so entsteht r^3

Das Volumen einer Halbkugel ist Zylindervolumen minus Kegelvolumen

pi*r^3 – 1/3 pi*r^3 = 2/3 pi * r^3

Das Volumen einer ganzen Kugel ist also 2 mal eine Halbkugel = 4/3 pi * r^3
________________________
 e-Hausaufgaben.de - Team