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Rang(A)=Rang(A/b)=n Beweis

Frage: Rang(A)=Rang(A/b)=n Beweis
(2 Antworten)


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Hallo,

ich muss folgende Aussage beweisen, doch fehlt mir zur Zeit echt jedgliche Idee bzw jeglicher Ansatz:

Voraussetzung:
K ist ein Körper
m,n e IN
A e M_{m x n}(K)

Behauptung:
Für alle b e K^m gilt: Das lineare Gleichungssystem (A/b) hat genau eine Lösung, wenn

Rang(A)=Rang(A/b)=n

Beweis:
Ich muss zum einen zeigen, dass Rang(A)=Rang(A/b)=n gilt, und zum anderen, dass es dann wirklich nur eine Lösung gibt.
Das Rang(A)=Rang(A/b) gilt, habe ich schon gezeigt. Also müsste ich noch zeigen, dass entweder Rang(A)=n oder Rang(A/b)=n. Da habe ich allerdings absolut keinen Ansatz, bzw keinen richtigen Ansatz, der mich da konkret weiter bringt. :-S
Frage von clemens1992 (ehem. Mitglied) | am 31.01.2012 - 12:30


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Antwort von v_love | 31.01.2012 - 17:05
i.a. kannst du Rg(A)=Rg(A,b) nicht zeigen, aber Ax=b hat genau eine lösung -->Rg(A,b)=Rg(A)=n.

wobei Rg(A,b)=Rg(A) aus der existenz folgt, und Rg(A)=n aus der eindeutigkeit.

ich nehme aber an, dass du das bereits gezeigt hast.

angenommen nun Rg(A,b)=Rg(A), dann folgere <s1,...,sn>=<s1,...,sn,b>->...->v aus R^n lösung von Ax=b. (hierbei s1,...,sn spalten von A)
sei nun Rg(A)=n, dann sind s1,...,sn linear unabhängig. da nun v eine lösung ist, gilt:
b=summe v_i*s_i, und wegen linearer unabhängigkeit der s_i folgt eindeutigkeit der koeffizienten v_i, also auch von v.


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Antwort von clemens1992 (ehem. Mitglied) | 31.01.2012 - 19:22
Danke!

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