Positive Lösung für Exponentialfunktion gesucht
Frage: Positive Lösung für Exponentialfunktion gesucht(10 Antworten)
Es gilt: exp(x) = x² + 2 Zeige: Es besitzt eine positive Lösung. Kann hier hier einmal den Limes x-> 0 und x-> unendlich laufen lassen, und dann mit dem ZWS argumentieren, dass es somit eine positive Lösung besitzt, da für x gegen 0 gerade negative Werte und für gegen unendlich gerade positive Werte folgen. |
| Frage von shiZZle | am 15.12.2011 - 17:39 |
| Antwort von v_love | 15.12.2011 - 17:48 |
grenzwertbetrachtung |
| Antwort von shiZZle | 15.12.2011 - 17:52 |
Ja aber muss ich das nicht gerade zeigen? Und bevor ich das zeige, ist es doch einfacher die Grenzwertbetrachtung für x->0 zu machen. |
| Antwort von v_love | 15.12.2011 - 18:02 |
dass g stetig ist, ist trivial, denn exp(x) ist stetig n.V., polynome sind stetig n.V., damit auch die summe (aus R jeweils). grenzwertbetrachtung ist unnötig. |
| Antwort von shiZZle | 17.12.2011 - 15:36 |
hmm aber die Stetigkeit reicht doch nicht aus, um sagen zu können, dass es eine positive Lösung bestitz |
| Antwort von v_love | 17.12.2011 - 16:21 |
das habe ich auch nicht behauptet. |
| Antwort von shiZZle | 17.12.2011 - 16:42 |
Habe jetzt zwei analoge überlegungen: Einmal wie im Anfangspost gepostet. Und alternativ: f(x) = -exp(x) + x² + 2 f(2) > 0 f(1) < 0 => Vorzeichenwechsel + stetige Funktion -> ZWS: positive Lösung |
| Antwort von v_love | 17.12.2011 - 18:37 |
wenn du benutzen darfst, dass f(2)>0 und f(1)<0, ist das ok. im zweifelsfall sind die ungleichungen zu begründen |
| Antwort von shiZZle | 17.12.2011 - 19:38 |
Warum sollte man es nicht benutzen? Bzw, wie begründet man das denn o.O? Immerhin wäre das doch f(1)=e^1 - 3 3 > e => f(1) < 0 analog für 2 folgt: > 0 |
| Antwort von v_love | 17.12.2011 - 19:43 |
wenn man natürlich weiß, welchen numerischen wert e hat, ist das alles klar. man definiert nun aber e z.b. als grenzwert der folge (a(n)) mit (1+1/n)^n=a(n), von der man weiß, dass sie konvergiert. und da weiß man natürlich nicht unbedingt, wie groß e nun ist, dass schätzt man dann ab, z.b. mit taylor. |
| Antwort von shiZZle | 17.12.2011 - 20:20 |
ach das doch zu umständlich. Dann lieber mim limes x-> 0 und unendlich laufen lassen, und noch stetigkeit begründen. Ist doch auch richtig und um einiges einfacher |
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