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Komplexe Zahlen

Frage: Komplexe Zahlen
(14 Antworten)


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Seien z,w Element der Komplexen Zahlen, dann gilt:


(i) |z+w|² + |z-w|² = 2(|z|²+|w|²)

Meine Idee:

Betrachte die linke Seite: |z+w|² + |z-w|²

So gilt doch:

|z+w|² = |z|² +|2zw| +|w|²

|z-w|² = |z|² -|2zw| +|w|²


Addiert man beides, so folgt doch: 2|z|² + 2|w|² = 2(|z|²+|w|²)

Richtig so? Wenn ja, reicht es nur diese Richtung zu zeigen?



(ii) z,w ungleich 0:

|z+w| = |z|+|w| <=> z/w > 0

Da fehlt mir so bisschen was. Hab versucht die Beträge als Wurzeln darzustellen:

sqrt(a²+b²+c²+d²) = sqrt(a²+b²)+ sqrt(c²+d²) mit z = a + ib und w = c + ib

Doch das bringt mich noch nicht so wirklich weiter.
Frage von shiZZle | am 16.11.2011 - 18:29


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Antwort von friedelpuul (ehem. Mitglied) | 16.11.2011 - 19:48
wow ganz schönes zahlen durcheinander

frag doch eine deiner ausbilderinen oder lehrer



oder ist das von dir aus eine frage


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Antwort von v_love | 16.11.2011 - 20:52
"|z+w|² = |z|² +|2zw| +|w|²
|z-w|² = |z|² -|2zw| +|w|²"

ist beides falsch, |z+w|²=|z|²+|w|²+2*Re(z*w), analog für |z-w|²

"Wenn ja, reicht es nur diese Richtung zu zeigen?"

von was für einer richtung sprichst du? zu zeigen ist nur die gleichheit.

"Hab versucht die Beträge als Wurzeln darzustellen:"

funktioniert sicherlich auch, ist aber unelegeant, stattdessen: quadriere beide seiten (ist hier eine äquivalenzumformung. wieso?): |z+w|²=|z|²+|w|²+2*|zw|, also |zw|=Re(z*w), daraus folgt alles.


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Antwort von shiZZle | 16.11.2011 - 21:27
Ich denke mal, das du mit Re den Realteil meinst.

"ist beides falsch, |z+w|²=|z|²+|w|²+2*Re(z*w), analog für |z-w|²"

Dann ist es aber analog -Re(zw) oder? Muss es ja, damit man es kürzen kann. Also muss man bei komplexen Zahlen den Betrag rausnehmen und quasi sagen, dass nur der Realteil gemeint ist.

Frage mich gerade nur, wie man das beim ersten berechnet. Als Beispiel:

z = 3 + 4i
w = 5 + 6i

So gilt doch:

|z+w|² = 34
|z|²+|w|²+2*Re(z*w) = 9 + 25 + 2Re(z*w)

Aber hat Re gar keinen Wert bzw. ist gleich 0?


____________

zu 2) |z+w| = |z|+|w| <=> z/w > 0

Quadriere ich dies, folgt doch:

|z+w|² = |z|²+|w|²

Woher kommt nun dein 2|zw|? und wieso kannst du jetzt hier 2|zw| schreiben aber oben bei 1. durfte ich es nicht?


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Antwort von v_love | 16.11.2011 - 21:44
"|z+w|² = 34"

ne.
du solltest dir noch mal anschauen, wie man |.| ausrechnet

"Aber hat Re gar keinen Wert bzw. ist gleich 0?"

ne, allerdings fällt mir auf, dass ich noch ein * vergessen habe: |z+w|²=|z|²+|w|²+2*Re(z*w*)

"Woher kommt nun dein 2|zw|? und wieso kannst du jetzt hier 2|zw| schreiben aber oben bei 1. durfte ich es nicht?"

bin. formel sagt dir was?


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Antwort von shiZZle | 16.11.2011 - 22:01
Ich habe ja oben auch binomische Formel angewendet. Dennoch meintest du es wäre falsch :P

Also muss es ja einen Grund geben, wieso man bei ii von 2|zw| und bei i nur von Re ausgehen darf.

zu dem Betrag:

Es gilt ja |z| = sqrt(x²+y²) mit z = x+iy

Dann muss für die Beispiele oben gelten: |z+w|² = 86

Ändert aber nichts daran, das |z|²+|w|² = 86 sind. Dann habe ich ja noch immer Re(z*w*) (wofür nun das weitere *?


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Antwort von v_love | 16.11.2011 - 23:14
"Ich habe ja oben auch binomische Formel angewendet. Dennoch meintest du es wäre falsch :P"

bin. formel ist (z1+z2)²=z1²+z2²+2z1z2, |z1+z2|² ist natürlich was anderes als (z1+z2)².

"Dann muss für die Beispiele oben gelten: |z+w|² = 86"

nein, immer noch nicht richtig.


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Antwort von shiZZle | 17.11.2011 - 18:40
So habs jetzt mal neu versucht ^^:

Es gilt z` = z quer (analog für w)


|z+w|² + |z-w|² = 2(|z|²+|w|²)

Linke Seite betrachtet:

|z+w|² = (z+w)(z+w)` = (z+w)(z`+w`)

= zz` + zw` + wz` + ww`

Analog für |z-w|²

somit bleibt: = 2zz` + 2ww`

=> 2(|z|²+|w|²)

Habe nur Probleme mit der Wurzel, weil ich nie weiß, ob die über den ganzen Term jeweils geht (linke Seite, oder aber nur über die einzelnen wie zz`.



(ii)

Deine Idee war genial. Hoffe ich habe sie richtig interpretiert:

Wenn man 2Re(zw`) raus hat, folgt ja laut Definition = 2|zw|

Da dies im Betrag steht, gilt:

2|zw|>0 => 2Re(zw`)>0 Da der Imaginärteil trivial ist bzw. 0, gilt: zw`> 0 => zw>0 => z/w>0

Hoffe es ist ansatzweise richtig o.O


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Antwort von v_love | 17.11.2011 - 20:50
"Da der Imaginärteil trivial ist bzw. 0"

0 ist hier das richtige wort ...

"zw`> 0 => zw>0"

die implikation ist falsch. z.b. gilt i*(-i)=1>0, aber i*i=-1<0.

was dennoch richtig bleibt ist z*w*>0 -->z/w>0, das ist noch zu begründen. (dafür muss man z/w bzw. z*w* nur etwas anders schreiben), außerdem musst du noch zurückfolgern. das ist aber hier überhaupt kein problem.


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Antwort von shiZZle | 17.11.2011 - 23:20
Das zurückfolgern sollte auch kein Problem sein. Hoffe es ist am Ende alles so, dass das auch Rückwärts funktioniert. Doch hänge ich jetzt seid circa zwei Stunden an diesem z*w* (ich denke du meinst damit z*w`).

Sollte man da vielleicht so ran:

z = a+ib
w` = c - id

da Imaginärteil = 0 => zw` = a*c

Doch irgendwie bringt mir das hier gar nichts


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Antwort von v_love | 18.11.2011 - 15:51
ich schreibe natürlich w* für w*=a-b*i, wobei w=a+b*i und a,b aus R.

das dir das nichts bringt glaube ich auch.

eigentlich muss man nur erweitern.


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Antwort von shiZZle | 18.11.2011 - 20:04
Was ist denn, wenn ich für |z| = zz` schreibe?

Kann ich dann sagen:

z/w = zz`/(ww`)>0 und da ich vorher gesagt habe:

Re(zw`) = |zw`| = (zz`)(ww`)

nun kann ich auch sagen:

da zz`/(ww`)>0 => zz`*ww` > 0 => Re(zw`)>0


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Antwort von v_love | 18.11.2011 - 22:24
"Was ist denn, wenn ich für |z| = zz` schreibe?"

du meinst |z|²=zz*

"z/w = zz`/(ww`)>0 und da ich vorher gesagt habe:"

eher z/w=z*w*/|w|²

dann folgefehler.


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Antwort von shiZZle | 19.11.2011 - 17:22
Was ein dummer fehler...

naja, weiter mit diesem letzten umformen -.-

wenn ich z/w = zw`/|w|² > 0 => zw` * |w|² > 0 => |zw`|*|w|² > 0

da: Re(zw`) = |zw`| und (siehe oben) |zw`|*|w|² > 0 => z/w > 0


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Antwort von shiZZle | 20.11.2011 - 21:42
die Hinrichtung habe ich. Nun eine Frage zur Rückrichtung:

Darf man das so machen:

z/w>0

da z,w Element aus C => keine Anordnungsaxiome => Es existiert ein k Element auf R+ und z = k * w

|z+w| = |k*w + w| = |(k+1)*w| = (k+1) * |w|

|z| + |w| = |k*w|+|w| = k*|w|+|w| = (k+1)*|w|

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