Verkettung von funktionen-Ketten- und Produktregel, Beweis

die beweise musst du eigentlich verstehen ...

ich will auch deshalb nicht ins detail gehen:

die idee ist hier zusatzterme einzuführen,
sodass man auf "neue" differenzenquotienten kommt, dann kann man ausnutzen, dass die grenzwerte existieren (beachte insbesondere, dass die funktion nach voraussetzung auch stetig sind, sehr wichtig)
also kann man die grenzwertsätze anwenden, und lim(x-->x0)f(x)=f(x0), lim(x-->x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)=f`(x0), falls f diffbar, benutzen.

gibt auch eine möglichkeit, wie man das mit weniger denken (und mehr rechnen) beweisen kann, die vor allem in der mehrdimensionalen analysis wichtig ist:
du schreibst f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)+rest, selbe mit g(x).
dann kannst du die funktionen miteinander multiplizieren und kommst auf f(x)*g(x)=(f*g)(x0)+(f`g+f*g`)(x0)+rest, und daraus kannst du die ableitung ablesen.
(analog für kettenregel)