Integralungleichung
Frage: Integralungleichung(1 Antwort)
Versuche hier eine Integralungleichung zu beweisen. g(1/(b-a) * Int f(x) dx) <= 1/(b-a) * Int g(f(x)) dx Wollte jetzt g(1/(b-a) * Int f(x) dx) als Summe darstellen und dann mal mit Höldersche versuchen. Doch da wirds kniffelig, da das ja eine Verkettung ist. Integral ist ja so definiert: S(f(x),Z_n,psi) Sei Z_n eine Zerlegung mit (b-a)/n => Sum|f(x)| *(b-a)/n Doch wie sieht so eine Verkettung davon aus? g(Sum|f(x)| *(b-a)/n) ? |
| Frage von shiZZle | am 24.04.2012 - 21:37 |
| Antwort von v_love | 24.04.2012 - 23:00 |
so kann man das schon mal gar nicht beweisen. das ist nicht anderes als die jensensche ungleichung, deren beweis (zumindest von einer variante der ungleichung) in so ziemlich jedem Ana oder Sto buch drin stehen dürfte. die idee ist die ungleichung erst für endliche summen zu beweisen, also quasi fürs zählmaß. f ist zumindest integrierbar, dann kann man irgendeine zerlegung und irgendeine stützstellenmenge holen und das integral als supremum bzw. lim darstellen. entscheidend ist dann noch, dass man lim und g vertauschen kann, wofür stetigkeit von g nicht schlecht wäre. Doch wie sieht so eine Verkettung davon aus? "g(Sum|f(x)| *(b-a)/n) ? ne, das ist eine summe über g(f(xi)), wobei xi aus der stützstellenmenge; natürlich noch mit der länge multipliziert und lim gebildet. |