Grenzwert Trigonometrischer Funktionen? Erklärung gesucht

Hallo

ich hab grade ein Problem mit so ner Notitz die ich gefunden habe und die ich damals verstanden habe, aber jetzt versteh ichs nicht mehr.
also das erste ist lim x->0 cos(x)-1/x=0 und das gibt iwie Sinn.
Danach kommt lim x->0 sin(x)/x=1, aber das ist iwie unlogisch, weil beim ersten, wenn man theoretisch null einsetzen würde für x, dann gäbe cosx ja eins, und 1-1 wäre null, und null durch null gäbe, wenn es teilbar wäre, theoretisch null. Nur beim zweiten käme, wenn man für x null einsetzt, sinx=0 raus, und null durch null gäbe dann auf einmal eins, und das kann ja nicht sein... es muss also irgendweine andere begründung dafür geben. wenn ich testeinsetzungen mit dem taschenechner mache, kommt das richtige raus, nur versteh ich nicht, warum. Blickt das vllt irgendwer und kanns mir erklären?