lokale Änderungsrate

die vorstellung ist eben, dass ich eine sekante durch zwei punkte P1, P2 durch den graphen einer funktion lege und und die steigung der sekante dann als mittlere änderungsrate der funktion im gegebenen intervall bezeichne (im fall von s(t)=weg zu zeit t spricht man auch von durchschnittlicher geschwindigkeit)

lass ich einen punkt (sagen wir P2) gegen den anderen laufen (P1), nähert sich die sekante einer tangente in P1, im grenzwert ist es dann die tangente und die steigung der sekante im grenzwert P2-->P1 bezeichnet man dann als lokale änderungsrate, differenzialquotient oder ableitung an der betreffenden stelle.

aus der anschauung ergibt sich auch die vorschrift, mit der du das berechnest:

h`(t=3)=lim(t-->3) (h(t)-h(3))/(t-3)
(durch m:=delta y/delta x wird ja gerade die steigung definiert)

"aber was meinst du mit einen punkt gegen den anderen laufen lassen?"

ich halte einen punkt fest (P1), und den anderen schiebe ich an P2 ran (mache also den abstand zwischen den punkten immer kleiner)

"und mit die steigung der sekante im grenzwert?"

sekante hat natürlich immer irgendeine steigung, die von meinen punkten P1 und P2 abhängt.
und unter umständen existiert dann auch der grenzwert, wenn ich eben P2 gegen P1 laufen lasse, von dieser sekantensteigung.

"achja und was ist im diesem falle die tangente?"

was soll ich drauf antworten?

tangente (in P) im allgemeinen ist - wie du hoffentlich weißt - eine gerade, die eine kurve in P berührt.
wie die bei deinem beispiel aussieht, müsste man eben schauen ...

ich definiere m als delta y/delta x, und bezeichne dann m als steigung.
delta y ist dabei die änderung in y (etwa der zurückgelegte weg) und delta x die änderung in x (etwa die verstrichene zeit)

"da muss ich dann doch noch das richtige einsetzten?"

klar - das, was gegeben ist.