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Asymptoten /Polstellen

Frage: Asymptoten /Polstellen
(7 Antworten)

 
Habe hier mal 4 Aufgaben die ihr mir am besten erklärt und vorrechnet und kommentiert das ich es verstehe smiley:


a) f(x) = 2/x-3+4 (die 4 ist sozusage neben dem Bruch hoffe ihr seht das wie ich das meine)

smiley f(x) = x-4/x²-5 (hier ist die 5 auch sozusagen "neben" dem bruch- ist scheiße das ohne nem Bruchstrich zus chreiben smiley)

c) f(x)= 2x + x²+2/x+2 (hier steht nichts neben dem Bruch das ganze ist der Bruch)

d) 1/(x-5)²


Ich habe zwar die Ergebnisse im Heft stehe die auch 100 % richtig sind aber kapiere einfach nicht wie man dort die Asymptoten und die Polstellen herausbekommt! Also erklärt mir das mal bitte smiley Irgendwas muss das ja mit dem Definitionsbereich sein etc.!
GAST stellte diese Frage am 21.01.2010 - 20:00


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6		 Antwort von Franky1971 | 21.01.2010 - 20:23
also Polstellen sind die Stellen, an denen der Nenner nicht definiert ist --> also 0 wird

z.B.
Du hast die Funktion f(x) = 1/(x²-4)
also kannst Du die Polstellen berechnen, in dem Du (x²-4) = 0 setzt und nach x auflöst; in diesem Fall bekommst Du 2 Polstellen: x = +-2


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6		 Antwort von Franky1971 | 21.01.2010 - 20:25
übrigens: bei a) b) und c) benutzt Du am Besten mal die Klammern!


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13		 Antwort von bombi (ehem. Mitglied) | 21.01.2010 - 20:43
Erlärng anhand der letzten Aufgabe d)
Untersuchen auf Polstelle
1) bestimmst du den def.bereich x element reelle zahlen x darf nicht 5 sein
2)dann überprüfst setzt Du den undefinierten x wert in den zähler und nenner ein -> zähler(z) und nenner(n) -> Z=1 und N=0 -> das bedeutet sie sind utnerschiedlich es handelt sich um eine polstelle
3) dann überprüfst du ob polstelle entgegfen +unendlich oder -unendlich am besten mit lim
4) undef. x wert = senkrechte asymptote
und waagerechte asympotete mit hilfe von lim -> unendlich


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Beiträge 613
6		 Antwort von Franky1971 | 22.01.2010 - 11:49
also Deine Erklärung 2) zur Aufgabe b) versteh ich nicht: entweder es handelt sich um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke, wobei eine hebbarer Definitionslücke doch nur auftreten kann, wenn es auch ein Zählerpolynom gibt, oder irre ich mich da?
... was man noch prüfen kann, wäre: ob es sich um eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel handelt --> hierzu nähert man sich von links und von rechts der Definitionslücke (Polstelle) an.

ich glaube, das macht man so:
f(x) = 1/(x-5)² und für x setzt man nun (5+z) und (5-z) ein
lim(z-->0) ( 1/((5+z)-5)² ) --> Annäherung der Definitionslücke von rechts
lim(z-->0) ( 1/((5-z)-5)² ) --> Annäherung der Definitionslücke von links

... ich würde nun sagen, dass kein Vorzeichenwechsel auftritt, da die Potenz das Vorzeichen aufhebt und somit bei beiden oo (unendlich) rauskommt, richtig? --> also muss es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel handeln

bei der Asymptoten-Bestimmung muss man 3 Fälle betrachten:
bei der Aufgabe d) ist der Fall "Zählerpolynom < Nennerpolynom" relevant
... man bildet für die Funktion f(x) den Grenzwert für lim(x --> +- oo)

es gibt die zwei anderen Fälle, in denen "Zählerpolynom = Nennerpolynom" und "Zählerpolynom > Nennerpolynom" gegeben ist. Im letzten Fall wird man erst eine Polynomdivision machen und dann den Grenzwert bilden.

Wenn "Zählerpolynom = Nennerpolynom" gegeben ist, dann muss man mit dem Verfahren: Erweiterung mit dem Kehrwert der höchsten Potenz


... aber da soll nochmal ein Mathematiker d`rüberschauen ...

 
 Antwort von GAST | 22.01.2010 - 12:25
auch wenn ich kein mathematiker bin ...

ist f(x)=z(x)/n(x), z,n polynome, x0 soll die einzige definitonslücke sein, also die einzige nullstelle von n.
kann man f stetig fortsetzen durch f(x)=c für x=x0, c aus R, dann ist x0 eine hebbare definitionslücke.
dies kann nur dann der fall sein, wenn z(x0)=0 gilt; was hier offensichtlich nicht der fall ist.
wobei ich hier 2 sachen anmerken möchte:
1)z(x)=1 ist ein polynom, wenn es auch konstant ist.
2)aus z(x0)=0 folgt nicht x0 ist hebbare definitionslücke. die umgekehrte richtung gilt.

und übrigens: (x-5)²>0 für alle x aus D, also kann die funktion wohl keinen VZW haben, mehr noch: sie muss immer pos.werte annehmen.
manchmal kann man´s auch einfach machen.

kann man auch verallgemeinern, in etwa so:
ist z(x0)<>0 (-->x0 ist auf jeden fall polstelle), x0 ist 2n-fache nullstelle von n, dann (und nur dann) ist x0 ein pol ohne VZW (n aus N)


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13		 Antwort von polska_playboy (ehem. Mitglied) | 22.01.2010 - 12:29
http://www.oberprima.com/index.php/kurvendiskussion-gebrochen-rational-polstelle-asymptote/nachhilfe

 
 Antwort von GAST | 22.01.2010 - 12:39
den satz "wenn der zähler 0 wird, dann ist es eine stetig behhebarre lücke", solltest du aber vergessen. muss auch keine ganzrationale funktion bei der division rauskommen.

wird übrigens oft falsch gemacht.

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