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potenzfunktionen

Frage: potenzfunktionen
(19 Antworten)

 
hallo, kann mir jemand erklären was eine umkerjrfunktion ist? und was ist der unterscjied zwischen funktion und zuordnung?
GAST stellte diese Frage am 10.12.2009 - 09:17


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Antwort von Franky1971 | 10.12.2009 - 10:10
zur Umkehrfunktion:
nehmen wir an, Du hast die Funktion f(x) = x² bzw.
y = x² und Du willst nun wissen, wie Du x ausrechnen kannst, dann benötigst Du die Umkehrfunktion von y = x²: hierzu löst Du die Funktion nach x auf und Du bekommst die Funktion x = sqrt(y)

Bei y = e^x ist die Umkehrfunktion x = ln(y).

Warum braucht man eine Umkehrfunktion:
Nimmst Du beispielsweise ein Diagramm und trägst auf der y-Achse den Bremsweg und auf der x-Achse die Geschwindigkeit auf und Du willst nun den Bremsweg auf der x-Achse und die Geschwindigkeit auf der y-Achse auftragen, so brauchst Du die Umkehrfunktion der ursprünglichen Funktion.


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Antwort von Franky1971 | 10.12.2009 - 10:27
achja, Du wolltest noch was wissen hinsichtlich der Zuordnung:
eine recht gute und einfache Beschreibung ist hier:
http://mektipps.de/m/lk/anal/Umkehrfunktion.pdf

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 10:41
vielen dank, ich glaub ich habs en bissl geschnallt,


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Antwort von Double-T | 10.12.2009 - 13:54
Genau genommen ist das erste Beispiel von Franky unter diesen Bedingungen nicht zulässig.

Leicht zu sehen an:
y = f(x) = x² --> x = +- sqrt(y)
Durch dieses +- wird deutlich, dass du die Urbildmenge anpassen musst.

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 13:56
ok, und warum bracht man eine umkehrfuntkion, das hab net richtig verstanden


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Antwort von Double-T | 10.12.2009 - 14:03
Eine Umkehrfunktion ( nennen wir sie f^[-1] ), wird folgendermaßen verwendet:

Sei f(x) = y
und du suchst das x, welches diese Gleichung erfüllt, dann benötigst du die Umkehrfunktion
f^[-1]( f(x) ) = x
Des Weiteren erhältst du dadurch
f^[-1]( y ) = x
So löst du dein Problem.

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 14:15
mmh ok, kannst du mir vllt das f^(-1)erklären?


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Antwort von Double-T | 10.12.2009 - 14:19
Wie du an f^[-1] kommst, wurde doch bereits erklärt.

Ein paar Beispiele:
y = f(x) = x
--> f^[-1](y) = x
Wohl der einfachste Fall.

y = f(x) = mx+b
--> f^[-1](y) = (y-b)/m = x


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Antwort von Franky1971 | 10.12.2009 - 14:22
Die Mathematiker sollen jetzt mal die Augen zu machen

Funktionen dienen den Menschen beobachtete Sachverhalten in Formeln zu fassen und damit Vorhersagen über noch nicht eingetretene Ereignisse zu treffen.
Konkret:
Du machst eine Beobachtung:
1 Apfelbaum bringt 10 kg Ertrag, 2 Bäume bringen 20kg Ertrag.
Annahme:
Ertrag(Apfelbaeume)=Apfelbaeume * (10kg/Apfelbaum)

Da das zu lang ist hat sich eine Kurzform eingebürgert:
f(x) = 10x; x sind hier die Apfelbäume.

Damit lässt sich wunderbar ermitteln wieviel Ertrag denn z.B. 20 Apfelbäume bringen.

Jetzt kommt ein findiger Mensch und sagt:
"Ich habe 70kg Ertrag gehabt." Woher wissen wir, dass er 7 Bäume gehabt haben muss?
Genau aus der Umkehrfunktion. Denn nun wollen wir nicht mehr wissen wieviel Ertrag eine Anzahl von Bäumen bringt, sondern wieviel Bäume notwendig sind um einen bestimmten Betrag zu erhalten.
Wir stellen also unsere Baumgleichung um:
Ertrag = Apfelbäume * (10kg/Apfelbaum)
Apfelbäume = Ertrag * (Apfelbaum/10kg)

Wieder in der schöneren Kurzform:
f(x) = 10x --> y = 10x
x = y/10 <-- das ist Dein f^[-1]

Und das ist unsere Umkehrfunktion. Zweck verstanden?


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Antwort von Franky1971 | 10.12.2009 - 14:26
naja, der Bauer wußte das, bevor der Mathematiker die Formel hatte ;-)

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 14:47
den zweck hab ich verstanden, ja

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:08
und wie berechne ich die umkehrfunktion von x=x^(1/3)?

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:13
f(x)=y=x^(1/3) (auf R+(0)) meinst du wohl.

nimm y und x^(1/3) zur dritten potenz, dann umnebennung der variablen und du hast die umkehrfunktion f^-1(x).

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:18
mmh, also wenn ich es so rechne wie es im buch steht, dann sieht es so aus:
x-->x^(1/3)
y= x^(1/3)
x= y^3
y= x^3

x-->x^3


mmh, irgendwie komisch

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:36
kann man das auch so rechnen?
oder ist das falsch?

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:49
ne, das ist richtig.

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:50
mmh, bitte, bitte, bitte!

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:51
aso, ok, also ist x-->x^3 die umkehrfunktion, ok cool, danke

 
Antwort von GAST | 10.12.2009 - 18:59
aba, was hast du dann gemacht?

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