Ableitung mehrerer Variablen

Also ich bin so vorgegangen:

Stetigkeit beweisen:

für (x,y) klar, da Komp.

Also Beweis für (0,0):

Also: |f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)| <= |x*y²/y²| <= |x| < epsilon

Damit ist Stetigkeit in (0,0) gezeigt.



Nun zeigen, dass diese Richtungsableitungen existieren:

d_y f(0) = lim t->0 f(tx,ty)/t = lim t*x*t²*y/(t²x²+t²y²) *1/t = x*y²/(x²+y²)

also habe ich das ja im Punkt (0,0) gezeigt, dass solch ein g(x,y) existiert. Nun muss ich das ja für alle anderen Punkte machen.

d_v f(x,y) = lim t->0 (f(x+tv)-f(x))/t = lim lim((x+tv)*(y+tv)²/((x+tv)²+(y+tv)²) -x*y²/(x²+y²))*1/t = ...=

(v*y*(2 x^3-x^2 y+y^3))/(x^2+y^2)^2

Würde das gehen? Hätte ich damit bewiesen, dass solch ein g(x,y) existiert für alle x,y

hier habe ich es doch berücksichtigt oder:

d_y f(0) = lim t->0 f(tx,ty)/t = lim t*x*t²*y/(t²x²+t²y²) *1/t = x*y²/(x²+y²)

achso. meinst du das quasi so:

f(x+tv) = f(x1+tv1,x2+tv2) ? Denn es verwirrt mich etwas, wie ich das am besten umschreibe.

hänge nun an der Aufgabe 2:

i) habe ich mit partiellen Ableitungen gemacht, sodass ich herausbekommen habe: f`(x) = x^t(A^t+A)

ii) Auch mit partiellen Ableitungen: g`(x) = ||x||^(t-1) * (x*t + ||x||)

Doch nun stellt sich die Frage, für welche t, g(x) in 0 diffbar ist. Hab das mal so versucht:

d_i g(0) = lim h->0 (g(0,...0,h,0,...,0) - f(0))/h = lim h->0 t-te Wurzel(h^t)/h

Nun weis ich leider nicht, wie ich das weiter angehen soll. für t=2 ist klar, dass das nicht diffbar ist, weil ich dann die euklidische Norm habe.

iii) fehlt mir leider jeglicher Ansatz. Wie genau kann ich mir die Matrix A vorstellen, zumal ich nicht mal weiß, wie a_i,j(t) aussieht.

hmm wieso ist das nicht richtig. Wo liegt denn der Fehler:

Ich habe das so aufgefasst:

g(u,v) = ||u||^t *v

dg/du = t*||u||^(t-1)*v

dg/dv = ||u||^t

Addiere ich die beiden, so sollte das g` sein. Aber wenn du sagst, dass das Falsch ist, widerspreche ich dir nicht. Würde nur gerne wissen, was ich hier verbotenes getan habe ^^

naja aber ich muss doch x wie einen vektor behandeln. immerhin befinde ich mich im R^n, denn g: R^n->R^n. Ansonsten würde ich das einfach so machen, aber das sieht noch falscher aus ^^:

g(x) = ||x||^t*x

Ich nehme die t-Norm, sodass ||x||^t = x_1^t+...+x_n^t

Dann hätte ich aber folgendes: g(x) = (x_1^t + ...+ x_n^t)*(x_1,...,x_n)

Das wäre ja genau das was meine Vorschrift besagt. Ich stecke etwas von R^n rein und bekomme wieder etwas vom R^n. Habe das jetzt auch mal online nach gerechnet. Ist irgendwie dasselbe:

Zitat:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+%7C%7Cx%7C%7C%5Et*x

Wäre nett wenn du mir sagst wo mein Denkfehler liegt.

v_love, könntest du mir vllt erstmal erklären wann ich die definitionen der Ableitungen eigentlich verwende:

Also wann differenziere ich total (Differenzial), wann mache ich eine Richtungsableitung und wann differenziere ich partiell. Wann berechne ich Gradient bzw. wann benutze ich die Jackobi Matrix? Bin da noch etwas unsicher