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Limes - Sekante und Tangente - Differentialrechnung

Frage: Limes - Sekante und Tangente - Differentialrechnung
(10 Antworten)

 
Ich steh` voll auf dem Schlauch und morgen steht eine Matheklausur an. Schaue mir diese ganze Thema Differentialrechnung an, komischerweise steht es überall anders bzw. unverständlich. Auch das was ich mitgeschrieben habe ist sehr unverständlich (für mich jedenfalls).


Meine erste Frage ist erstmal:
Bis jetzt hatten wir irgendwie zwei verschiedene Limessätze (?), einmal für die Sekantensteigung, und einmal für die Tangentensteigung. Stimmt das so?
-> Steigung der Sekante: m= lim h->0 f(x0+h)-f(x0) / h
-> Steigung der Tangente: m= lim t->t0 S(t)-s(t0) / t-t0

Ich finde das etwas komisch, denn im Endeffekt sind die beiden Limesfunktionen doch dieselben? Denn t-t0 ist doch h?!?! Wieso wird trotzdem unterschieden UND wo liegt der Unterschied?
Woran erkenne ich, welche Formel ich anwenden muss, wenn die Aufgabe beispielsweise lautet:

Berechne den Grenzübergang von f(x)=x³?

Wo wir beim nächsten Problem wären: Was ist der Grenzübergang?

Eigentlich habe ich das ganze Thema nicht verstanden, obwohl ich jetzt seit Stunden versuche, irgendetwas davon nachvollziehen zu können.

KANN MIR JEMAND HELFEN?
ANONYM stellte diese Frage am 11.12.2008 - 22:25


Autor
Beiträge 6266
96		 Antwort von Double-T | 11.12.2008 - 22:43
Die Sekante ist eine Gerade, von der 2 verschiedene Punkte zur betrachteten funktion gehören:


=> m = [f(x+h)-f(x)]/[(x+h)-x)] = [f(x+h)-f(x)]/[h]
Was genau diese Tangentensteigung aussagen soll, sehe ich nicht recht.
Soll S(t) eine andere, zu betrachtende Funktion sein?

Schwer zu sagen, was diese Kontextlosen Aussagen bedeuten.

Es gilt allerdings, dass du für Lim(h->0) deine Tangentensteigung bekommst.

Grenzübergang ist genau dann, wenn du "den Limes anwendest"

 
 Antwort von GAST | 11.12.2008 - 22:50
Okay, das mit dem Grenzübergang ist jetzt klar - DANKE.
Nur, was ist dann der Grenzwert?


Autor
Beiträge 6266
96		 Antwort von Double-T | 11.12.2008 - 22:53
Wenn du so fragst:
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)

 
 Antwort von GAST | 11.12.2008 - 23:07
oh man ich hasse dieses thema -.-
ich habs bis jetzt immer noch nich verstande und bin in der 12dennoch irgendwie durchgekomme xD

 
 Antwort von GAST | 11.12.2008 - 23:17
Immerhin, bin ich nicht allein ;D

Ich muss nochmal blöd fragen, ich bin nämlich ein (kleines) Stück weitergekommen.
Und zwar hab ich jetzt zwei Formeln für Tangentensteigung:
-> m= lim h->0 f(x0+h)-f(x0) / h
-> m= lim x->xo f(x0+h)-f(x0) / h

Beides ist für die Berechnung der Tangentensteigung.
Nun stellt sich für mich die Frage, welche Formel gilt wann und woran sehe ich das?


Autor
Beiträge 6266
96		 Antwort von Double-T | 11.12.2008 - 23:31
Das eine ist der Limes für h gegen Null, woraus zu sehen ist, dass der Grnzwert dir die Tangentensteigung wiedergibt.

Die Benutzung des 2. erkenne ich auch nicht.
x geht gegen einen Wert x0, aber in der Funktion ist doch bereits x0 eingesetzt worden...

 
 Antwort von GAST | 12.12.2008 - 00:52
also erstmal
eine tangente gibt den wert der steigung im bestimmten punkt einer funktion (quasi z.B. bei 1/3 m=2 oder sowas)
gut verständlich wird sowas auch bei einer funktion einer bakterienpopulation, von der die (erste) ableitung die vermehrungsrate zu einem bestimmten zeitpunkt(x-achse) und zustand(y-achse) wiedergibt

bei S(t) handelt es sich wohl um sowas ähnliches

wenn du "x0" schreibst meinst du damit dass eine kleine null (also im index) rechts unterhalb des x` steht?
Grenzwertübergang: glaube wert bei dem der limes überschritten wird
ansonsten schau doch bei wiki
LG BB

 
 Antwort von GAST | 12.12.2008 - 00:54
tschuldigung mir ist grad aufgefallen dass ich teilweise mist fabriziert habe und dass etwas schon geklärt war(grenzübergang), sorry

 
 Antwort von GAST | 12.12.2008 - 02:22
Zur Aufklärung.

m= lim h->0 f(x0+h)-f(x0) / h
m= lim x->xo f(x0+h)-f(x0) / h

Diese Formel hier gelten immer! Sie sind stets äquivalent.
h wird jedoch bei der 2. Formel mit (x-x0) ergänzt.
Geht x jetzt gegen x0 , dann haben wir wieder die gleiche Situation wie bei der 1. Formel, denn dort geht der Nenner auch gegen Null.

 
 Antwort von GAST | 12.12.2008 - 11:18
das ist unsinn, koso.

der grenzwert von [f(x0+h)-f(x0)] / h für x-->x0 ist stets [f(x0+h)-f(x0)] / h, da [f(x0+h)-f(x0)] / h eine konstante funktion ist.

was völlig anderes ist "m= lim t->t0 S(t)-s(t0) / t-t0"

das ist auch richtig und die definition der ableitung, falls diese exisitiert (also falls der grenzwert exisitiert)
wenn man t-t0=:h definiert, dann läuft h gegen 0 und die formel geht in die h-definition der ableitung über (erste formel bei dir)
du kannst immer beide formel anwenden, allerdings empdehle ich dir-wenn es in der aufgabe freigestellt ist, was du verwendest, die h-methode anzuwenden.

die frage "Berechne den Grenzübergang von f(x)=x³?" ist nonsense, da nicht klar ist, welchen grenzwert man berechnen soll.

da man wohl die ableitung berechnen soll, kannst du erst den differenzenquotient aufschreiben:
((x0+h)³-x0³)/h

ausmultiplizieren, durch h dividieren, und dann hast du´s schon praktisch

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