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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Prismen > Berechnung einer Pullmoll- Dose

Optimierungsproblem

Eine handelsübliche Pullmoll-Dose hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser

d =7,5cm und der Höhe h =2cm.
Es soll nun überprüft werden, ob eine Dose mit gleichem Aufbau, aber mit optimierten ( = reduzierten) Materialverbrauch ( =Oberfläche O) hergestellt werden kann.

Zunächst wird die vorliegende Dose aufgetrennt, bzw. der Grundriss der Dose (inkl. Deckel) erstellt:
Skizze
d= 7,5cm d= 7,5cm
2h h

(Dose) = 2cm = 1cm (Deckel)

Bei den folgenden Berechnungen und Überlegungen werden folgende Idealisierungen und Vereinbarungen vorgenommen:
- Falze, Rundungen, etc. werden als vernachlässigbar klein angenommen.
- Die Dicke des Bleches soll als unendlich klein angenommen werden.
- Das Volumen V der Dose wird als konstant angenommen.
- Das Verhältnis von Deckel- und Dosenhöhe (2:1) soll als konstant angenommen und beibehalten werden.

Die Zielfunktion O die, die Oberfläche der gesamten Dose beschreibt, sieht wie folgt aus:
Es handelt sich dabei um eine Funktion mit zwei Variablen.

Um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten, benötigt man eine weitere Funktion (mit beiden Variablen), eine Nebenbedingung. Hier für bietet sich die Funktionsgleichung des Volumens V an:

Nun wird Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, so dass unsere Zielfunktion nur noch von der Variablen r abhängt:

Da die Oberfläche optimiert, also reduziert werden soll, ist für die Funktion O(r) eine Extremstelle, ein Minimum, zu suchen. Dafür bilde ich von O(r) die 1. und 2. Ableitung:

Um ein Minimum zu finden, muss die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von Extremstellen erfüllt sein:
( notwendige Bedingung
( hinreichende Bedingung
d.h., es liegt ein Minimum vor!
Nun wird r Min in Gleichung (2) eingesetzt, um das dazugehörige h Min zu erhalten.
Somit erhält man mit r Min = 2,41cm und h Min = 4,84cm eine Dose mit optimierter Oberfläche.
Da die berechneten Werte von der Realität abweichen, benötigt dieses noch eine Interpretation. Zum einen könnten verschiedene Faktoren in der Produktion zu einer anderen Wahl von r und h geführt haben. Zum anderen könnten andere Punkte, wie z. B. Marketing, zu anderen Maßen geführt haben.
x f(x) 0 -530,16 0,1 -530,147434 0,2 -530,059469 0,3 -529,820708 0,4 -529,355752 0,5 -528,589204 0,6 -527,445664 0,7 -525,849735 0,8 -523,726018 0,9 -520,999116 1 -517,593629 1,1 -513,434161 1,2 -508,445312 1,3 -502,551684 1,4 -495,677879 1,5 -487,748499 1,6 -478,688146 1,7 -468,421421 1,8 -456,872927 1,9 -443,967264 2 -429,629035 2,1 -413,782842 2,2 -396,353286 2,3 -377,264969 2,4 -356,442493 2,5 -333,810459 2,6 -309,29347 2,7 -282,816127 2,8 -254,303032 2,9 -223,678787 3 -190,867993 3,1 -155,795253 3,2 -118,385168 3,3 -78,5623392 3,4 -36,2513694 3,5 8,62314009 3,6 56,1365874 3,7 106,364371 3,8 159,381888 3,9 215,264538 4 274,087719 4,1 335,926829 4,2 400,857266 4,3 468,954428 4,4 540,293714 4,5 614,950522 4,6 693,00025 4,7 774,518296 4,8 859,580059 4,9 948,260936 5 1040,63633 5,1 1136,78163 5,2 1236,77224 5,3 1340,68356 5,4 1448,59098 5,5 1560,56991 5,6 1676,69574 5,7 1797,04387 5,8 1921,6897 5,9 2050,70863 6 2184,17605 6,1 2322,16737 6,2 2464,75798 6,3 2612,02327 6,4 2764,03866 6,5 2920,87953 6,6 3082,62129 6,7 3249,33933 6,8 3421,10905 6,9 3598,00584 7 3780,10512 7,1 3967,48227 7,2 4160,2127 7,3 4358,3718 7,4 4562,03497 7,5 4771,2776 7,6 4986,17511 7,7 5206,80288 7,8 5433,23631 7,9 5665,5508 8 5903,82175 8,1 6148,12457 8,2 6398,53463 8,3 6655,12735 8,4 6917,97813 8,5 7187,16235 8,6 7462,75543 8,7 7744,83275 8,8 8033,46972 8,9 8328,74173 9 8630,72418 9,1 8939,49247 9,2 9255,122 9,3 9577,68817 9,4 9907,26637 9,5 10243,932 9,6 10587,7605 9,7 10938,8272 9,8 11297,2075 9,9 11662,9768 10 12036,2106
Tabelle3
Tabelle2
Tabelle1
Diagramm1
f(x)
0,00
-530,16
4,00
3,00
6,00
88,36
0,10
0,10
-530,15
4,00
3,00
6,00
88,36
0,20
0,10
-530,06
4,00
3,00
6,00
88,36
0,30
0,10
-529,82
4,00
3,00
6,00
88,36
0,40
0,10
-529,36
4,00
3,00
6,00
88,36
0,50
0,10
-528,59
4,00
3,00
6,00
88,36
0,60
0,10
-527,45
4,00
3,00
6,00
88,36
0,70
0,10
-525,85
4,00
3,00
6,00
88,36
0,80
0,10
-523,73
4,00
3,00
6,00
88,36
0,90
0,10
-521,00
4,00
3,00
6,00
88,36
1,00
0,10
-517,59
4,00
3,00
6,00
88,36
1,10
0,10
-513,43
4,00
3,00
6,00
88,36
1,20
0,10
-508,45
4,00
3,00
6,00
88,36
1,30
0,10
-502,55
4,00
3,00
6,00
88,36
1,40
0,10
-495,68
4,00
3,00
6,00
88,36
1,50
0,10
-487,75
4,00
3,00
6,00
88,36
1,60
0,10
-478,69
4,00
3,00
6,00
88,36
1,70
0,10
-468,42
4,00
3,00
6,00
88,36
1,80
0,10
-456,87
4,00
3,00
6,00
88,36
1,90
0,10
-443,97
4,00
3,00
6,00
88,36
2,00
0,10
-429,63
4,00
3,00
6,00
88,36
2,10
0,10
-413,78
4,00
3,00
6,00
88,36
2,20
0,10
-396,35
4,00
3,00
6,00
88,36
2,30
0,10
-377,26
4,00
3,00
6,00
88,36
2,40
0,10
-356,44
4,00
3,00
6,00
88,36
2,50
0,10
-333,81
4,00
3,00
6,00
88,36
2,60
0,10
-309,29
4,00
3,00
6,00
88,36
2,70
0,10
-282,82
4,00
3,00
6,00
88,36
2,80
0,10
-254,30
4,00
3,00
6,00
88,36
2,90
0,10
-223,68
4,00
3,00
6,00
88,36
3,00
0,10
-190,87
4,00
3,00
6,00
88,36
3,10
0,10
-155,80
4,00
3,00
6,00
88,36
3,20
0,10
-118,39
4,00
3,00
6,00
88,36
3,30
0,10
-78,56
4,00
3,00
6,00
88,36
3,40
0,10
-36,25
4,00
3,00
6,00
88,36
3,50
0,10
8,62
4,00
3,00
6,00
88,36
3,60
0,10
56,14
4,00
3,00
6,00
88,36
3,70
0,10
106,36
4,00
3,00
6,00
88,36
3,80
0,10
159,38
4,00
3,00
6,00
88,36
3,90
0,10
215,26
4,00
3,00
6,00
88,36
4,00
0,10
274,09
4,00
3,00
6,00
88,36
4,10
0,10
335,93
4,00
3,00
6,00
88,36
4,20
0,10
400,86
4,00
3,00
6,00
88,36
4,30
0,10
468,95
4,00
3,00
6,00
88,36
4,40
0,10
540,29
4,00
3,00
6,00
88,36
4,50
0,10
614,95
4,00
3,00
6,00
88,36
4,60
0,10
693,00
4,00
3,00
6,00
88,36
4,70
0,10
774,52
4,00
3,00
6,00
88,36
4,80
0,10
859,58
4,00
3,00
6,00
88,36
4,90
0,10
948,26
4,00
3,00
6,00
88,36
5,00
0,10
1040,64
4,00
3,00
6,00
88,36
5,10
0,10
1136,78
4,00
3,00
6,00
88,36
5,20
0,10
1236,77
4,00
3,00
6,00
88,36
5,30
0,10
1340,68
4,00
3,00
6,00
88,36
5,40
0,10
1448,59
4,00
3,00
6,00
88,36
5,50
0,10
1560,57
4,00
3,00
6,00
88,36
5,60
0,10
1676,70
4,00
3,00
6,00
88,36
5,70
0,10
1797,04
4,00
3,00
6,00
88,36
5,80
0,10
1921,69
4,00
3,00
6,00
88,36
5,90
0,10
2050,71
4,00
3,00
6,00
88,36
6,00
0,10
2184,18
4,00
3,00
6,00
88,36
6,10
0,10
2322,17
4,00
3,00
6,00
88,36
6,20
0,10
2464,76
4,00
3,00
6,00
88,36
6,30
0,10
2612,02
4,00
3,00
6,00
88,36
6,40
0,10
2764,04
4,00
3,00
6,00
88,36
6,50
0,10
2920,88
4,00
3,00
6,00
88,36
6,60
0,10
3082,62
4,00
3,00
6,00
88,36
6,70
0,10
3249,34
4,00
3,00
6,00
88,36
6,80
0,10
3421,11
4,00
3,00
6,00
88,36
6,90
0,10
3598,01
4,00
3,00
6,00
88,36
7,00
0,10
3780,11
4,00
3,00
6,00
88,36
7,10
0,10
3967,48
4,00
3,00
6,00
88,36
7,20
0,10
4160,21
4,00
3,00
6,00
88,36
7,30
0,10
4358,37
4,00
3,00
6,00
88,36
7,40
0,10
4562,03
4,00
3,00
6,00
88,36
7,50
0,10
4771,28
4,00
3,00
6,00
88,36
7,60
0,10
4986,18
4,00
3,00
6,00
88,36
7,70
0,10
5206,80
4,00
3,00
6,00
88,36
7,80
0,10
5433,24
4,00
3,00
6,00
88,36
7,90
0,10
5665,55
4,00
3,00
6,00
88,36
8,00
0,10
5903,82
4,00
3,00
6,00
88,36
8,10
0,10
6148,12
4,00
3,00
6,00
88,36
8,20
0,10
6398,53
4,00
3,00
6,00
88,36
8,30
0,10
6655,13
4,00
3,00
6,00
88,36
8,40
0,10
6917,98
4,00
3,00
6,00
88,36
8,50
0,10
7187,16
4,00
3,00
6,00
88,36
8,60
0,10
7462,76
4,00
3,00
6,00
88,36
8,70
0,10
7744,83
4,00
3,00
6,00
88,36
8,80
0,10
8033,47
4,00
3,00
6,00
88,36
8,90
0,10
8328,74
4,00
3,00
6,00
88,36
9,00
0,10
8630,72
4,00
3,00
6,00
88,36
9,10
0,10
8939,49
4,00
3,00
6,00
88,36
9,20
0,10
9255,12
4,00
3,00
6,00
88,36
9,30
0,10
9577,69
4,00
3,00
6,00
88,36
9,40
0,10
9907,27
4,00
3,00
6,00
88,36
9,50
0,10
10243,93
4,00
3,00
6,00
88,36
9,60
0,10
10587,76
4,00
3,00
6,00
88,36
9,70
0,10
10938,83
4,00
3,00
6,00
88,36
9,80
0,10
11297,21
4,00
3,00
6,00
88,36
9,90
0,10
11662,98
4,00
3,00
6,00
88,36
10,00
0,10
12036,21
4,00
3,00
6,00
88,36
f(x)
f(x)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,10
6,20
6,30
6,40
6,50
6,60
6,70
6,80
6,90
7,00
7,10
7,20
7,30
7,40
7,50
7,60
7,70
7,80
7,90
8,00
8,10
8,20
8,30
8,40
8,50
8,60
8,70
8,80
8,90
9,00
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
-530,16
-530,15
-530,06
-529,82
-529,36
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