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Komplexe Zahlen

Das Problem der Unvollständigkeit

Schon mehrfach in der Vergangenheit musste der dahin bestehende Zahlenbereich erweitert werden um bestimmte Probleme lösen zu können.
Begonnen hat alles mit den Natürlichen Zahlen (1,2,3,....). Mit diesen Zahlen konnte man problemlos addieren und multiplizieren, ohne den besagten Zahlenbereich verlassen zu müssen. Jedoch stieß man schon bei einem weiteren Rechenverfahren, der Division auf Schwierigkeiten. Bei der Rechenoperation 3:9 erhalten wir das Ergebnis 1/3. Dieser Bruch ist, wie alle Brüche nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten.
Die Zahlenmenge musste also, um die Vollständigkeit (= Zahlenbereich in dem man alle Rechenoperationen durchführen kann ohne diesen zu verlassen) zu gewährleisten, erweitert werden.

Die Menge der Zahlen wurde also im Laufe der Zeit immer erweitert, bis man schließlich die Menge der reelen Zahlen hatte.
Doch der Zahlenbereich war nicht vollständig. Denn es entstand das Problem, was das Ergebnis der Quadratwurzel aus -1 ist. Es kann weder 1, noch -1 sein, denn beide Zahlen quadriert ergeben +1.

Die Forderung nach Vollständigkeit verlangt aber eine Lösung für diese Operation, die in den reelen Zahlen nicht zu lösen ist.

Definition der komplexen Zahlen:

Die Zahl i
Zur Lösung des Problems wurde irgendwann die Zahl i eingeführt. i wird imaginäre Einheit genannt.

Formeln und weitere Erläuterungen siehe bitte Datei!

Komplexe Zahlen

Um mit den imaginären Zahlen wirklich rechen zu können musste man sie mit den reelen Zahlen verbinden.
Die Definition dieser Verbundenen Zahlen wird in der Mathematik komplexe Zahlen ( C )genannt.
Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeler Zahlen.

Formeln und weitere Erläuterungen siehe bitte Datei!

Darstellung der Komplexen Zahlen - Die Gaußsche Zahlenebene

Komplexe Zahlen können in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden, welche wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist. Auf der x-Achse wird der Realteil der Komplexen Zahl aufgetragen und die y-Achse ist die Achse mit den Imaginären Zahlen.
So kann jeder Komplexen Zahl exakt ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene zugewiesen werden. Diese Darstellung nennt man Normalform.

Grafik siehe bitte Datei!

Die Polarform

Im Gegensatz zu Normalform, können Komplexe Zahlen auch in der Polarform in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden. Bei dieser Darstellung wird eine Gerade vom Ursprung bis zum Punkt P gezogen. Dieser Punkt P stellt die Komplexe Zahl in der Form z = a + bi dar.
Die komplexe Zahl wird also hierbei als Vektor (a/b) aufgefasst.
Der Abstand des Punktes P zum Ursprung wird als Betrag von z oder r bezeichnet.

Grafik und weitere Erläuterungen siehe bitte Datei!

Konjugierte komplexe Zahlen

Durch Umkehrung des Vorzeichens des Imaginärteils einer komplexen Zahl, erhält man die zu z konjugierte (conjugere (lat.) = verbinden) komplexe Zahl (gelesen: z quer).
z = a + bi und = a bi nennt man konjugiert zueinander.
Diese Umpolung von b, entspricht der Spiegelung der komplexen Zahl an der reele Achse (X-Achse). Die Vektoren der zueinander konjugierten Punkte gehen durch diese Spiegelung ineinander über. Dadurch entsteht eine rein reele Zahl auf der Realachse. Das Produkt eines konjugierten Zahlenpaars ist also stets reel.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Addition

Alle Rechenregeln die man in R zur Verfügung hat, gelten auch in C, müssen aber entsprechend definiert werden. Die Definition der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen lassen wir uns vom rechnen mit Binomen leiten.
Will man 2 komplexe Zahlen addieren, muss man zuerst den Realteil und getrennt davon den Imaginärteil addieren.

(a +bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Bsp.: (6 +8i) + (4 + 3i) = (6 +4) + (8 + 3)i = 10 + 11i
Man kann auch mit Hilfe der Gaußschen Zahleneben 2 komplexe Zahlen addieren. Dabei werden die beiden komplexen Zahlen wie oben beschrieben in die Zahlenebene eingezeichnet. Dann wird zu beiden Punkten, vom Ursprung aus, jeweils eine Gerade gezogen. Erweitert man diese beiden Geraden zu einem Parallelogramm, erhält man die Summer der beiden komplexen Zahlen.

Grafik und weitere Erläuterungen siehe bitte Datei!

Subtraktion

Bei der Subtraktion 2er komplexer Zahlen geht man ähnlich vor wie bei der Subtraktion. Der Realteil wird getrennt vom Imaginärteil subtrahiert.

(a +bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Bsp.: (6 +9i) - (3 + 7i) = (6 - 3) + (9 - 7)i = 3 + 2i

Man kann auch die Subtraktion in der Gaußschen Zahlebene darstellen. Beide Zahlen werden wie bei der Addition in die Ebene eingezeichnet und mit einer Gerade mit dem Ursprung verbunden.

Von einer der beiden komplexen Zahlen (z = a + bi) muss man nun das negative Ebenbild, also z = -a bi, zeichnen. Nun wird die negative komplexe Zahl mit der nicht veränderten zu einem Parallelogramm erweitert.

Multiplikation

Auch bei der Multiplikation werden die komplexen Zahlen wie Polynome behandelt. Man multipliziert einfach wie gewohnt die beiden Klammern aus.

(a +bi)(c + di) = ac + adi + bic + bdi2 = ac + adi + bic bd = (i2 = -1) = (ac bd) + i(ad + bc)

Die Multiplikation kann auch graphisch dargestellt werden, mit der Polarform.
Der Betrag der Beiden komplexen Zahlen ist also die Produkt der beiden Einzelbeträge () und das Argument(der Winkel) ist die Summe der Einzelargumente.

Division

Die Division in der Normalform ist der Multiplikation wieder sehr ähnlich. Diese gelingt jedoch nur nach dem Erweiterungsvorgang mit dem konjugierten Nenner. Im Nenner entsteht dadurch eine rein reele Zahl.
Die Deutung der Division ist, ähnlich wie bei der Multiplikation, in der Polardarstellung viel einfacher. Bei der Division ist nämlich der Betrag des Quotienten gleich dem Quotienten der Einzelbeträge und das Argument des Quotienten gleich der Differenz der Einzelargumente.

Potenzieren

Die n-te Potenz einer komplexen Zahl ist die n-fache Produktbildung mit z.
Eine komplexe Zahl z wird mit n potenziert, indem man ihren Betrag mit n potenziert und ihr Argument mit n multipliziert.

Radizieren

Bei der Bestimmung der komplexen Wurzeln ist die Moivresche Formel von Bedeutung. Die Lösung der Gleichung führt zur Umformung, wobei z und x komplexe Zahlen der Form.

Literaturverzeichnis

Mathematik, Ratgeber zum Selbststudium; Weltbild Verlag
Alfred Hilbert; Mathematik-Grundlagenwissen; Bechtermünz Verlag
Reichel, Müller, Hanisch, Laub; Lehrbuch der Mathematik 7; öbv & hpt Verlagsgesesslschaft

Abbildungen:
http://www.hh.schule.de/hhs/info11-13/bio-babs/polar.htm
http://www.uni-ulm.de/~s_fwinkl/komplex/komplex.html

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