Extremwerte

Steht nicht dabei, in welchem Intervall
Ich glaub die Ableitung müsste stimmen, hab das mit der Kettenregel gemacht!

@black-seraphimo... natürlich braucht man ein intervall! man bedenke sinus und kosinus funktion wo wo es aufgrund der parabeln eine vielzahl von extrempunkten gibt! bei mir in der FOS betrachten wir alle nullstellen,extrempunkte und wendepunkte im intervall von 0 bis 2(pi)....

bunny frage ist sehr berechtigt.

bei solchen funktionen betrachtet man oft nur den hauptzweif bzw die erste periode.

da aber hier kein intervall dabei steht, geht man vom größt möglichem aus. in diesem fall ist es R. also musst du alle extremstellen der funktion, die in R liegen angeben.

die ableitung ist richtig..ist auch nicht besonders schwer diese zu bilden

allerdings kann man dies noch stark vereinfachen.

es gilt: -sin²(x)+cos²(x)=cos(2x)

jetzt setzt du die ableitung =0

f`(x)=cos(2x)=0

setze 2x:=u

cos(u)=0<=>u=pi/2+k*pi mit k aus Z.

pi/2+k*pi=2x<=>x=pi/4+k*pi/2

L={k aus Z|pi/4+k*pi/2}

überprüfung mit (2tem teil der) hinreichender bedingung:

f``(x)=-2sin(2x)

sin(2x) wird nur bei ganzzahligem vielfachem von pi/2 =0.

pi/4+k*pi/2 ist aber nie ein solches ganzzahliges vielfaches von pi/2.

dementsprechend ist die menge L die menge aller extremstellen der funktion.

jetzt kannst du noch selber die y-werte der extrempunkte ausrechnen..und schauen ob das hoch bzw tiefpunkte sind.

ich schlage dir mal noch einen alternativen lösungsweg vor:

f`(x)=0
cos²(x)-sin²(x)=0
[cos(x)-sin(x)][cos(x)-sin(x)]=0<=>
cos(x)=sin(x)

das ist eine gleichung die man auf viele verschiedene weisen lösen kann..einer der einfachsten wege ist dieser:

sin²(x)+cos²(x)=1 (trigonometrischer Pythagoras..sollte man auswendig können)

umgeformt:
sin(x)=[1-cos²(x)]^(1/2)

eingesetzt:
[1-cos²(x)]^(1/2)=cos(x) (quadrieren)
1-cos²(x)=cos²(x)<=>
1=2cos²(x)<=>
1/2=cos²(x) (wurzel ziehen)
2^(-1/2)=cos(x)
x=arccos[2^(-1/2)]
x=45°=pi/4

herleiten kann man sich das rel. einfach mit einem gleichschenkligem rechtwinkligem dreieck:

es sei alpha=beta=45° und gamma=90°

es gilt: cos(45°)=c/(2b) (wobei c die basis und b ein schenkel ist)

nach Pythagoras gilt: a²+b²=c² mit a=b (a ist der andere schenkle):
b²+b²=c²<=>2b²=c²<=>c=2^(1/2)b

eingesetzt:
[2^(1/2)b]/[2b]=cos(45°)=cos(pi/4)<=>2^(1/2)/2=cos(pi/4)<=>2^(1/2-1)=cos(pi/4)<=>
2^(-1/2)=cos(pi/4)<=>arccos[2^(-1/2)]=pi/4