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Mengenlehre ist schwierig !

Frage: Mengenlehre ist schwierig !
(35 Antworten)

 
Also wie ihr vielleicht schon dem Titel entnehmen konntet - ich hab ein Matheproblem

....also an die Cracks unter euch: Ich hab hier drei Aufgaben aber ich brauch erstmal nicht die Lösung, sondern würde lieber erklärt haben wie ich das selber lösen kann...denn wenn ich nur das Ergebnis abschreib bringt mir das ja net wirklich was, ne!
Also
1.
a) geg: Menge M = {0;1;2}
Zeigen Sie das M Abelsche Gruppe ist! (btw...ich weiß net mal was ne abelsche Gruppe sein soll, aber müssen wir wohl irgendwann in Mathe mal gemacht haben...)
b) Überlegen Sie sich, dass sich eine definierte Addition ergibt, wenn man in M wie üblich addiert und danach den Rest bei der Division durch 3 als Ergebnis aufschreibt. Finden Sie mit Hilfe dieser Überlegungen eine Abelsche Gruppe mit genau 5 Elementen, geben Sie eine Gruppentabelle an.
2. Untersuchen Sie die folgende Menge auf Beschränktheit (Infimum, Supremum)
M = {x Element der reellen Zahlen /
x= 1/(n+1) + (1+(-1)hoch n)/2n ; n Element der natürlichen Zahlen}
3. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion
(Also eigentlich steht da dieses Summenzeichen was aussieht wie ien E wisst ihr...aber ich schreib das jetzt mal aus)
Summe aller kk! (hab keine Ahnung was das Ausrufezeichen da soll) von k=1 bis n = (n+1)!-1

Danke für alle brauchbaren Antworten!
*kussis*
GAST stellte diese Frage am 25.10.2007 - 15:02

 
 Antwort von GAST | 25.10.2007 - 20:45
*verzweifel*
aber ich brauch ja kein beispiel sondern ne erklärung für die lösung der aufgabe die ich nicht verstehe :(

 
 Antwort von GAST | 25.10.2007 - 20:51
gut. hab mir doe original aufgabenstellung durchgelesen. dann geht das natürlich nicht.


das geht dann so:
(a+b)/3=c+x

x ist der rest, also deine gesuchte größe

beispiel:
a=3, b=2

(3+2)/3=1+Rest 2

also ist das ergebnis 2

 
 Antwort von GAST | 25.10.2007 - 21:06
hey ich glaub echt so langsam steig ich dahinter *freu* (hoffentlich nicht zu früh)
also rechne ich einfach für alle fünf elemente das jeweilige ergebnis aus und trags ein!
und kannst du mir vielleicht noch was zu aufgabe 2 und 3 sagen?
also danke erstmal :)

 
 Antwort von GAST | 25.10.2007 - 21:22
du musst nur gucken bzw nachher überprüfen,ob das ne abelsche gruppe ergibt.

2. was ist den die größte/kleinste zahl x?

3.1*1!=(1+1)!-1<-->1=2!-1<-->1=1 w.a.-->für n=1 gilt das.

summe über alle kk! von k=1 bis n+1=(n+2)!-1
<-->(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+2)!-1<--->
(n+1)!(1+n+1)=(n+2)!<-->(n+1)!(n+2)=(n+2)!<-->
2*3*4*...*(n+1)(n+2)=3*4*5*...*(n+2)<--->
(n+1)!=(n+2)!/(n+2)<--->(n+1)!=(n+1)! w.a.! q.e.d.

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 11:44
okay also 1. hab ich kapiert! danke dafür *lach*
aber 2. kann ich immer noch net...also das minimum müsste 1 sein (wegen natürliche zahlen und null geht ja nich wegen division durch null) also gibts auch kein infimum...aber gibts da auch n rechenweg für? und wie krieg ich die obere schranke raus?
ja und das mit 3 versteh ich auch noch nich so wirklich? kennt vielleicht jemand ne seite oder so wo ich zu dem thema ne beispielrechnung oder ne gute erklärung finde?

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 14:09
behauptung:
das supremum von M ist S=5/6.

beweis:
angenommen behauptung ist richtig, dann muss ff. gelten:
5/6>=x
<-->5/6>=1/(n+1)+[1+(-1)^n]/2n=(3n+1+(-1)^n+(-1)^n*n)/(2n²+2n)
<-->5/3n²+5/3n>=3n+1+(-1)^n+(-1)^n*n
<-->5/3n²-4/3n>=1+(-1)^n+(-1)^n*n

das ist sicherlich eine wahre aussage, da für n=2 das "=" gilt, und sonst immer ">" wegen 1. stärkerer konvergenz von n² gegenüber n und weil (-1)^n für n=1 <0 ist, gilt.

jetzt musst du nur noch beweisen, dass es ein infimum gibt (hier: 0)
geht genau so.

aufgabe 2) habe ich dir schon bewiesen.

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 14:52
aha und wie kommst du auf diese behauptung? einfach durch probieren oder wie?

also mir wäre sehr geholfen wenn mir jemand das verfahren (für 2. und 3.) mal erklären könnte oder nen link wüssste!

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:12
sowas habe ich mittlerweile im gefühl.

man kann aber auch für n die ersten werte einsetzen. dann sieht man ob die zahlen kleine werden oder größer (oder gleich bleiben) und kann somit auf beschränktheit schließen.
die vermutung muss man natürlich noch beweisen.

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:27
aber sonen richtigen rechenweg mit schritt 1, 2, 3 gibts dafür jetzt nicht?

also was würd ich machen wenn einsetzen nix bringen würde? also weißt mein problem ist jetzt nicht dass ich das beispiel nich verstehe sondern die rechnung allgemein! ich will das ja auch in ner klausur dann später mal irgendwie hinkriegen!

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:28
achso als infimum hab ich nach deiner ausprobier-methode jetzt 1/2 raus...wie kommst du auf 0?

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:37
1.vermutung aufstellen
2.vermutung beweisen.

man kann nicht davon ausgehen, dass die erste vermutung immer die richtige ist. bei schwierigen beispielen ist die vermutung oft sogar falsch. aber durchs beweisen kommt man dann auf eine richtige behauptung.

"also was würd ich machen wenn einsetzen nix bringen würde?"

in welchem sinne?

wenn du jetzt z.b. eine menge N mit N={x aus R|x=n, n aus N} hast. dann gibt es natürlich kein supremum. die menge ist dann die menge der natürlichen zahlen. die ist selbstverständlich nach oben unbeschränkt. das infimum ist das erste glied.

"achso als infimum hab ich nach deiner ausprobier-methode jetzt 1/2 raus...wie kommst du auf 0?"
wie gesagt: gefühl!
in den nennern stehen polynome. in den zählen konstanten (>0 und >=0), ist die 0 in M nicht drin. man kann aber für sehr großes n zahlen finden, die sehr klein sind und beleibig an 0 ranreichen. also muss das infimum 0 sein.

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:41
aha okay...und was mach ich jetzt wenn ich dieses gefühl nicht hab?
ich muss ja solche aufgaben auch mal allein lösen und kann nich immer dich fragen :P
da muss es doch nen trick geben...

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:42
also ich kenn keinen trick.
schreibe doch mal die ersten elemente der menge auf, dann siehst du schon,was das infimum und was das supremum ist.

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:46
tja das muss ich dann wohl so hinnehmen :D

na gut....kannst du mir vielleicht noch was zur 3. aufgabe sagen? also ich schreib den induktionsansatz auf indem ich sage das n=1 ist, ne und dann muss ne wahre aussage rauskommen und dann stell ich ne gleichung auf in der ich alle n durch (n+1) ersetze und dann muss ich irgendwas nachweisen? was genau beweise ich dann? und zu dem speziellen beispiel was ich hier hab: wie genau wirkt sich das fakultät-zeichen auf die rechnung aus?

 
 Antwort von GAST | 29.10.2007 - 15:51
du musst beweisen, dass es mit der annahme, dass die gleichung so stimmt, auch für n+1 stimmt.

das "!" musst du nur am ende beachten..schau dir doch mal meine rechnung an, dann siehst du es.

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