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Ableitung

Frage: Ableitung
(9 Antworten)


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Die Firma Surprise KG stellt einen Scherzartikel her. Linda erzählt nach einem Betriebspraktikum:" Die Kosten für die Herstellung von x Stück dieser Scherzartikel betragen K ( x ) Euro. Dabei ist K ( x ) = 0,02 x 3 − 0,6 x 2 + 6 x . Der Erlös E hängt von der Anzahl x der verkauften Artikel ab. Sie werden für 2 Euro pro Stück verkauft, das heißt E ( x ) = 2 x ."


a ) Erstellen Sie die Grapen der Funktionen K und E und ermitteln Sie, bei welchen Stückzahlen die Firma keinen Verlust macht.

b ) Die momentane Änderungsrate der Kostenfunktion nennt man Differential- oder Grenzkosten. Sie geben Auskunft über die zusätzlichen Kosten, die die Mehrproduktion "des nächsten Stücks" verursacht. Vergleichen Sie die Höhe der Grenzkosten mit der Höhe der Stückkosten K ( x ) geteilt durch x

c ) Ermitteln Sie ebenfalls die Grenzerlösfunktion E´(x). Betrachten Sie alle Funktionsgraphen und stellen Sie Zusammenhänge her, die im Kontext sinnvoll sind.
kann jemand mir erklären wie das geht wäre sehr nett
danke im voraus
Frage von irem6 | am 03.03.2018 - 18:40


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 03.03.2018 - 19:46
Kostenfunktion..: K(x) = 0,02 x3 − 0,6 x2 + 6 x.
Erlösfunktion.....: E(x) = 2 x[eine Gerade]
Gewinnfunktion.: G(x) = E(x) - K(x)
a) wenn die Kosten = Erlös sind,
gibt es weder Gewinn noch Verlust. Das sind die Schittpunkte der Geraden mit der Kurve. Rechnerisch setzt Du G(x) = 0 oder K(x) = E(x).
b) hier ist eventuell die 1. Ableitung der Kostenkurve K(x) gefragt:
K´(x) = 0,02*3 x2 - 0,6*2 x1 + 6 x0 = 0,06x2 - 1,2x + 6.[Grenzkosten]
Stückkosten: K(x) / x [siehe oben] = 0,02x2 -0,6x +6.
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzkosten
c) E´(x) = 2, also eine Waagerechte zur x-Achse.
Sind Dir die Ableitungsregeln bekannt?


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 03.03.2018 - 19:51
Zeichne bitte mal alle Graphen mit richtiger Bezeichnung. Hilfe: Setze mal Werte ein, wie 2, 5, 10, 15... und bezeichne die Graphen richtig, dann stelle das Foto hier rein. Dann kann man gemeinsam interpretieren.


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0		 Antwort von irem6 | 03.03.2018 - 20:25


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 03.03.2018 - 20:37
Welche Funktion ist das? Zeichne bitte alle Graphen in ein Koordinatensystem mit Bezeichnung des Graphen, also K(x), E(x) usw. Ich schau später noch mal drüber oder morgen...


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 04.03.2018 - 13:03
Die Höhe der Stückkkosten werden hier auch Durchschnittskosten genannt.Man kann beide Funktionsgleichungen gleichsetzen und erhält 2 Schnittpunkte, einen bei x=0, der ist uninteressant, den anderen bei x=15. Bei dieser Produktionsmenge von 15 Stück sind Grenzkosten = Durchschnittskosten.

Blau: Kostenfunktion K(x); Rot: Erlösfunktion E(x).
Bei einer Stückzahl von 10 und 20 schneiden sie sich. Dort wird weder Gewinn noch Verlust gemacht! Vor x=10 wird Verlust gemacht, Kosten höher als Erlös. Danach Gewinn und ab x>20 gilt: K(x)>E(x), nur noch Verlust. Du kannst den Bereich zwischen Kostenkurve und Erlösgeraden (-funktion) zwischen x=10 und x=20 ausschraffieren. Das ist die Gewinnzone! Der Übersicht halber stelle ich weitere Lösungsvorschläge ins nächste Antwortfeld.
Mit diesem link kannst Du alles gut zeichnen
https://rechneronline.de/funktionsgraphen/
Eine Grafik kannst Du dann ganz normal kopieren.


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 04.03.2018 - 13:33


Blau: Grenzkosten, also K´(x) und Rot: K(x)/x, also Stückkosten bzw. Durchschnittskosten.
Man sieht sehr schön, ab x=15 steigen die Grenzkosten erheblich an.


Hier nochmal in einem anderen Maßstab.


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0		 Antwort von irem6 | 04.03.2018 - 13:36
Dankeschön für Ihre Hilfe


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 04.03.2018 - 14:04

So in grün habe ich noch die Grenzerlösfunktion eingezeichnet E´(x)=2.
Ich glaube, dass die optimale Produktionsmenge bei x=15 liegt. Dort ist der Abstand zwischen Kosten- und Erlösfunktion am größten. Dort schneidet aber auch die Grenzerlöskuve (grün) die Grenzkostenkurve (blau) und die Durchschnittskosten (rot) haben ein Minimum!
Die Erlöse pro Stück bleiben immer gleich, die Grenzkosten steigen ab x=10 progressiv an, also überprportional. Deshalb steigen im weiteren Verlauf auch die Durchschnittskosten pro Stück (Stückkosten) immer mehr an.


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 04.03.2018 - 15:33
In der Grafik ist es etwas schwer zu erkennen. Mathematisch liegt die optimale Stückzahl dort, wo die Grenzkosten = Grenzerlös sind. Denn jedes zusätzliche produzierte Stück würde jetzt mehr Kosten verursachen als Erlös zu erwirtschaften. http://www.helpster.de/grenzerloes-grenzkosten-erklaerung_175901
Demnach sollten 16 Stück produziert werden!
Die Durchschnittskosten verteilen alle Kosten auf die hergestellte Stückzahl. Bei x=20 sieht man auch hier, weil sie die Grenzerlöskurve schneidet, dass danach kein Gewinn mehr möglich ist!

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