Modellieren

Also der SV (Sportverein) ist ja der Veranstalter. Er nimmt definitiv pro Konzertbesucher 4€ ein. Also Anzahl der Besucher sei x. Bei z.B. x=1000 nimmt der SV beispielsweise 4000€ ein (Einnahmen). Ich nenne die Einnahmen E, also E= 4€x

Nun will die auftretende Band ja auch Geld dafür bekommen ( für den SV sind das die Ausgaben/Kosten), also benenne ich sie mit A.
Dazu macht die Band 2 Angebote:
(1) A₁ = 300€ + 1€x oder
(2) A₂ = 600€ + 0,4€x.
Das sind ja für den SV die Ausgaben, die man abziehen muß. Das €-Zeichen mache ich nur zur Verdeutlichung, weil die Ergebnisse in € lauten, Du kannst es erst mal auch weglassen, damit es wie eine Gleichung aussieht.
Jetzt macht der SV ein drittes Angebot:
(3) A₃ = 450€ + 2€ für jeden Besucher x ≥ 400.

Nun kann man die Zielfunktionen, das ist der Gewinn des SV, genannt G, ermitteln und vergleichen. G=E-A
(1a) G₁ = 4x - (x + 300) ⇔ G₁ = 3x - 300 ; (2a) G₂ = 4x - (0,4x + 600)
⇔ G₂ = 3,6x - 600.
Du hast jetzt 2 Geradengleichungen für den jeweiligen Vereinsgewinn für die dazugehörigen Angebote der Band.
Die Einnahmen der Band stehen ja anfangs in Klammern.
Du kannst jetzt die Geradengleichungen gleich setzen. Das ist der Schnittpunkt beider Gewinngeraden, danach ist ja eine Gewinnfunktion für den verein besser...
Für die 3. Alternative das Angebot vom Verein, fällt mir im Moment noch nichts ein.

So, ich mußte einen neuen Beitrag dazusetzen, weil ich das blöde Unterstreichen nicht mehr wegbekam!
Also die Gewinngleichung besteht ja aus den Einnahmen (E) des Vereins durch die immer gleichen Eintrittsgelder von 4€/Besucher, E=4x (bleibt bei allen Angeboten gleich!). Aber bei den Ausgaben ändert sich im 3. Angebot etwas! Für eine Besucheranzahl < 400, also bis 399 Besucher gilt folgende einfache Gewinnfunktion:
x<400 ⇒ G₃ = 4[€]x - 450 und bei [b]x≥400 ⇒ G₃ = 4[€]x - {450[€] + 2[€](x-399[€])} = 4x - {450 + 2(x-399)} = 4x -{2x-348} = [b]2[€]x + 348.
Hochinteressant! Beachte auch dieses Zeichen "⇒", was kein Äquivalenzzeichen, sondern das Folgezeichen ist! Ich lasse oft die Dimension weg, weil es sonst sehr unübersichtlich wird. Alle Ergebnisse lauten ja in €.

Jetzt kannst Du alles mögliche ausrechnen mit verschiedenen Fragestellungen!
Welches Angebot ist für den SV am günstigsten, je nach Besucheranzahl und welches für die Band? Du mußt immer 4 Möglichkeiten betrachten, da das 3. Angebot ja 2 Fälle beinhaltet!
Gibt es ein Angebot, je nach Besucheranzahl, das für beide am günstigsten ist? Wann macht der SV sogar einen Verlust (beim 3. eigenen Angebot zu beachten).
Welches Angebot Du nun nehmen willst, kannst Du nun mit den jeweiligen Gewinngleichungen für den SV ausrechnen.

So wieder ein neuer Beitrag, weil ich die Fußnote, tiefergestellt nicht wegkriege. Darf man immer erst hinterher oder im laufenden Text markieren.
Weiter gehts: 3x - 300 = 3,6x - 600 ⇔ 300 = 0,6x ⇔ x=500. Bei dieser Besucheranzahl sind beide Gewinne für den SV gleich groß, durch Einsetzen ergeben sich 1200€.
Danach setze ich mal jede Gleichung = 0, daraus ergibt sich bei Angebot 1): x=100;
bei Angebot 2): x=166,66 Besucher, damit der SV keinen Verlust macht!
Durch Einsetzen von Werten findet man heraus, dass bei einer niedrigeren Besucheranzahl als 500 Angebot 1) immer besser ist, darüber aber Angebot 2).
Lösung Aufgabenteil 1:
Angebot A1) ≤ 500 ≤ Angebot A2).

Neuer zusätzlicher Vergleich mit Angebot 3):
a) x<400 ⇒ G₃ = 4x - 450
b) x≥400 ⇒ G₃ = 2x +348
Dieses 3. Angebot müssen wir nun mit den anderen Angeboten vergleichen, aber bloß nicht a) mit b), da sie sich ja ausschliessen.
3a) vergleichen wir nur mit 1) weil ja bei einer niedrigen Besucherzahl Angebot 1) besser ist und wir prüfen also ob 3) noch besser ist!
Gleichungen aus 3a) und 1) wieder gleichsetzen, kommt x=150 heraus. Durch Nullsetzen und einsetzen findet man heraus, daß unter 150 Besuchern Angebot1) günstiger ist, darüber dann Angebot 3), aber erst mal nur bis zur Besucherzahl x= 399!
Zwischenlösung:
Angebot A1) ≤ 150 ≤ Angebot A3) ≤ 399 ≤ Angebot A1) ≤ 500 ≤ Angebot A2)
Angebotsfall 3b) müssen wir mit 1) und 2) vergleichen, weil wir zwischen 400 und 500 Besuchern auch vergleichen müssen!
Beide Gleichungen gleichsetzen 3a) und 2), Ergebnis: x=648. Aber ab 500 Besuchern war ja bereits Angebot 2) besser. Also ändert sich nichts.
Vergleich von 3b) mit 2): Gleichsetzen der Gleichungen: 3,6x - 600 = 2x + 348 ergibt dann x=592,5 Besucher. Durch Einsetzen von Werten erkennt man, dass bis 592 Besuchern 3b) günstiger ist, danach aber wieder Angebot 2).
So, wir ergänzen diese Kette Angebot A1) ≤ 150 ≤ Angebot A3) ≤ 399 ≤ Angebot A1) ≤ 500 ≤ Angebot A3) ≤ 592 < Angebot A2).

So, dass wäre dann mein Lösungsvorschlag: Werden bis zu 150 Besucher erwartet ist Angebot 1 am günstigsten, dann das neue Angebot 3 bis zu 399 Besuchern, dann wieder Angebot 1 bis 500 Besuchern, danach wieder Angebot 3 bis einschließlich 592 Besuchern, danach immer Angebot 2! Beacht das kleiner-Zeichen am Ende, bei 592 ist noch a3) günstiger für den SV. Übrigens sind alle Berechnungen für den SV zu machen, er macht ja den Angebotsvergleich.
Ganz schön tricky, ich hoffe Dein Lehrer versteht diesen Lösungsansatz.