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Gllobalverhalten Funktionsschar

Frage: Gllobalverhalten Funktionsschar
(2 Antworten)


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Hallo,
da wir demnächst eine Mathe-Klausur (Gk; Q1) schreiben, wäre es super, wenn die Frage beantwortet werden könnte:
Bei einer Funktionsschar ft(x)=x^3-3*t^2*x+5 soll das Globalverhalten bestimmt werden.
Normalerweise guckt man sich doch den Faktor mit der höchsten Potenz an und wen dieser , nach dem Einsetzen eines sehr hohen x-Wertes, positiv ist ist limf(x) [x-> +oo] auch positiv und andersherum auch oder?
Ist die Bestimmung nun auch für Funktionsscharen möglich und wie funktioniert dieses Verfahren bei gebrochenen Funktionsscharen bzw. ganz allgemeinen?

Vielen Dank!
Frage von RedArrow | am 08.12.2014 - 10:09


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Antwort von Mathe3 | 08.12.2014 - 21:39
Warum sollte sich das Verhalten ändern?


x^3-x und x^3-100x haben doch das gleiche Verhalten im Unendlichen.;)
t kannst Du zwar beliebig wählen, aber für jede einzelne Funktion ist es ja fest.
(Also nur um sicher zu gehen: Da steht ...3*t^2*x und nicht 3*t^(2*x)?)


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Antwort von v_love | 08.12.2014 - 22:34
mit gebrochenen Funktionsscharen meinst du so etwas wie polynom/polynom?
prinzipiell schaut man sich immer die höchste potenz an. Ist sie (d.h. der Exponent der Potenz) für das zählerpolynom größer, so konvergiert das ding gegen +-unendlich, ist sie kleiner konvergiert die funktion gegen 0, ansonsten gegen den quotienten der koeffizienten der potenz.

so etwas wie eine allgemeine regel gibt es nicht. ich habe aber mal vor einiger zeit (d.h. vor einer zeit, in der deine eltern noch nicht einmal übers kinder kriegen nachdachten, weshalb einige kleinere fehler drin sein könnten) mal einen beitrag verfasst, der nahezu alle (in der schule behandelten) fälle abdeckt.

falls es dich interessiert:

Wie bestimme ich das Verhalten derFunktion für x-> +/- unendlich? 
Vorweg: ist lim(x-->unendlich)f(x)=amit aus R, so heißt a (eigentlicher) Grenzwert von f.y=a ist dann waagerechte Asymptote vonf.

ich will dir mal so viele für die schule relevanten fällewie möglich aufzählen:
zunächst aber einmal eine definition:ist f(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+a(n-1)x^(n-2)+...+a0 (man spricht dannu.U. von einem polynom), so heißen a1,a2,a3,...an aus Rkoeffizienten und an heißt leitkoeffizient

1.polynome:fallunterscheidung: leitkeoffizient positiv:

f(x) geht gegenunendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen -unendlich fürx-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) gehtb)gegen +unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von fgerade ist.

leitkoeffizient negativ:

f(x) geht gegen-unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen unendlich fürx-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) gehtb)gegen -unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von fgerade ist.

2. funktionen der form z(x)/n(x)=f(x)[gebrochenrationale funktionen]

ist grad(z(x))<grad(n(x)), sokonvergiert die funktion gegen 0 für x-->+-unendlich.

ist der grad von z(x) höher als dergrad von n(x), so geht f(x) gegen +unendlich bzw -unendlich fürx-->+-unendlich. um zu schauen obs gegen + oder -unendlich gehtmusst du die in 1. genannten regeln für polynome anschauen. dubetrachtest dabei nur z(x). n(x) ist dafür unwichtig.Es lässt sich mittels Polynomdivisiondie Funktion z(x)/n(x) in einen ganzrationalen Teil g(x) und einenecht gebrochenrationalen teil h(x)=a(x)/b(x) mit grad(a)<Grad(b)bringen, also z(x)/n(x)=g(x)+a(x)/b(x), da a(x)/b(x) wegengrad(a)<grad(b) für x-->unendlich gegen 0 konvergiert ist g(x)die Asymptotenfunktion von f(x)=z(x)/n(x).wenn grad(g(x))=1, also g(x) die formmx+b hat, so spricht man von einer linearen Asymptote.Ist g(x) eine quadratische Funktion,also grad(g)=2, so ist g eine quadratische asymptote, der graph eineasymptotenparabel. Natürlich kann auch grad(g)>2 gelten, aber aufdiese fälle, wirst du kaum treffen.Ist grad(g(x))=0, alsoz(x)/n(x)=c+h(x), wobei c irgendeine reelle zahl sein soll, so isty=c waagerechte asymptote.Dies kann man mit Folgenden Merksatzbestimmen:

Merke: ist grad(z(x))=grad(n(x)), dann giltf(x)=a/b für x-->+-unendlich.

a ist der leitkoeffizientvon dem polynom z. b ist der leitkeoffizient von dempolynom n.a/b ist das vorher genanntec.
3.exponentialfunktionen:

die exponentialfunktionf(x)=e^x geht gegen unendlich für x-->+unendlich und gegen 0 fürx-->-unendlich

4.logarithmusfunktionen:

dienatürliche logarithmusfunktion f: x-->ln(x) mit derdefinitionsmenge D(f)=R+ geht gegen +unendlich für x-->+unendlich(allerdings extrem langsam) und gegen -unendlich für x-->0, alsoist senkrechte Aymptote x=0.Der Graph der Funktion f nähert sichwegen D(f)=R+ nur von rechts an.

5.gemischte funktionen (ausexp-ln und polynomen).

hier gibts keine allgemeine regel,allerdings musst du folgendes beachten:

dieepxonentialfunktion konvergiert am schnellsten. dielogarithmusfunktion am langsamsten. das polynom ist in dermitte.
d.h. wenn du sowas hier hast: f(x)=e^(-x)+x, weißt duzwar, dass x gegen unendlich geht (für x-->unendlich), abere^(-x) geht gegen 0 (nach regel 3.). und nach regel 5. ist e^(-x) derstärkere, also geht die ganze funktion gegen 0, und nicht gegenunendlich (für x-->unendlich)

6.ansonsten gibts noch 2regeln, die sehr wichtig allgemein und vor allem auch fürwurzelfunktionen (und gebrochenrationale funktionensind):

a)
grenzwertsätze:hat g(x) den grenzwert a und h(x)den grenzwert b so hat g(x)+h(x) den grenzwert a+b.
g(x)-h(x) dengrenzwert a-b
g(x)*h(x) den grenzwert a*b
g(x)/h(x) dengrenzwert a/b, falls b ungleich 0.alles für x-->|unendlich|

beispieldazu: f(x)=g(x)*h(x)=(x^2+2)/(2x^2+1)*(4x^3+7)/(3x^3+2x^2)

duweißt nach regel 2 hat g(x) den grenzwert 1/2 und und h(x) dengrenzwert 4/3. also ist der grenzwert vonf(x):
g=1/2*4/3=4/6=2/3

b)regel von l hopital:

ist f diffbar und lim(x-->unendlich)z(x)=0 und lim(x-->unendlich)n(x)=0,so gilt lim(x-->unendlich) z(x)/lim(x-->unendlich)n(x)=lim(x-->unendlich) z`(x)/lim(x-->unendlich)n`(x).

gleiche regel gilt, wenn lim(x-->unendlich)z(x)=unendich undlim(x-->unendlich)n(x)=unendlich. man nennt solch einen ausdruckunbestimmter ausdruck. Der Grund hierfür ist, dassunendlich/unendlich oder auch 0/0 alles mögliche sein kann.z.b. ist x/x für x-->unendlich 1.hier ist also unendlich/unendlich=1.Aber x/x² für x-->unendlich ist 0(nach regel 2, gebrochenrationale funktionen)Das nur zwei Beispiele

beispielzur Anwendung der Krankenhausregel:

e^(x)/x. fürx-->unendlich gehen e^x und x (zähler und nenner) gegenunendlich. somit ist die regel anwendbar uns [e^x]`/[x]`=e^x/1=e^xhat denselben `grenzwert`

nämlich gar keinen. die funktiongeht gegen unendlich für x-->unendlich. (dies hätte man auch mitregel 5 lösen können, e^x konvergiert schneller als x gegenunendlich, somit kanns keinen grenzwert geben)

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