Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion ?

Hallo Germanotta.
Zuerst mal eine Zusammenfassung des Definitionsbereiches und Wertebereiches:

Der Definitionsbereich einer Funktion ist der Bereich von x-Werten, für den y-Werte existieren.
Der Wertebereich einer Funktion ist der Bereich von y-Werten, die beim Einsetzen aller möglichen x-Werte entstehen können.

Leichter ist da zunächst der Definitionsbereich.
Man braucht als Grundwissen, dass es Terme gibt, für die es keine Lösung gibt. Die wichtigsten zwei Regeln bis zur 10. Klasse sollten sein:

• Durch Null teilen ist verboten!

→Daher ist eine Funktion dann NICHT definiert, wenn irgendwo im Nenner 0 steht. Ein kleines Beispiel dafür:


Die Funktion ist für x = 0 nicht definiert, da dann durch Null geteilt würde. Der Definitionsbereich besteht also aus allen reellen Zahlen bis auf 0.

• Es ist verboten, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen!

→Daher ist eine Funktion dann NICHT definiert, wenn die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird. Ein kleines Beispiel dafür:


Die Funktion ist für x < 0 nicht definiert, da dann die Wurzel aus einer negativen zahl gezogen würde. Der Definitionsbereich besteht also aus allen Zahlen größer oder gleich 0.


Wenn du also den Definitionsbereich angeben musst, folgst du diesen drei Schritten:
Erst schaust du, ob irgendwo in der Funktion durch x geteilt wird. Diese Bereiche musst du dann aus dem Definitionsbereich ausschließen. Um genau rauszufinden, welche Stelle du ausschließen musst, setzt du einfach alles, was unter dem Bruchstrich steht, gleich 0 und löst dann nach x auf.

Danach schaust du, ob irgendwo in der Funktion Wurzeln stehen, unter denen x steht. Hier musst du alle Bereiche ausschließen, die dafür sorgen würden, dass unter der Wurzel eine Zahl unter 0 steht. Um herauszufinden, welchen Bereich du ausschließen musst, setzt du den ganzen Term unter der Wurzel kleiner als 0 und löst nach x auf.

Wenn du alle Wurzeln und Brüche durchgeschaut hast, musst du den Definitionsbereich noch mathematisch formulieren. Dafür gibt es viele verschiedene Modelle, ich kenne es so:
Du fängst an mit D={x∈ℝ, dies steht dafür, dass der Definitionsbereich alle Zahlen umfasst. Wenn du weder Brüche noch Wurzeln findest, schreibst nur nur D={x∈ℝ} hin. Ansonsten machst du einen senkrechten Strich dahinter, hinter den du die Bedingungen schreibst. Das sieht zum Beispiel so aus:
D={x∈ℝ|x≠0}, wenn x nicht 0 sein darf. Hast du mehrere Bedingungen, machst du einfach mehrere senkrechte Striche.



Jetzt ein schwierigeres Beispiel dafür:
Die Funktion.
Wie oben beschrieben, fängst du mit den Brüchen an. Davon findest du hier 2. Deren Nenner musst du jeweils gleich 0 setzen.
d.h. 20-x = 0, daraus folgt x = 20. Für x = 20 ist also der Nenner gleich 0, also darf x NICHT 20 sein.
Beim zweiten Bruch erhält man x²-10000 = 0, daraus folgt x² = 10000, daraus folgt x = 100. x darf also auch NICHT 100 sein.

Jetzt machst du dich an die Wurzel. Du schreibst einfach, wie oben beschrieben:
2x-30 < 0, daraus folgt 2x < 30, daraus folgt x < 15. x darf als NICHT kleiner als 15 sein, muss demnach größer oder gleich 15 sein.

Jetzt schreibst du das in eine Lösungsmenge:
D={x∈ℝ|x≠20|x≠100|x≥15}

Ich mache später noch eine Erklärung für die Wertemenge.
Gruß,
Florian

Vielen Dank!

Beide Erklärungen haben mir sehr geholfen.

Schönen Abend noch...

Florian? Ich würde mich über die Definition zum Wertebereich sehr freuen! :-) Wäre lieb...

Den Wertebereich einer Funktion zu bestimmen, ist, wenn man den Definitionsbereich kann, schon ziemlich leicht.

Der Wertebereich gibt an, welche Zahlen bei einer Funktion rauskommen können.
Deswegen muss man, um den Wertebereich zu erhalten

• die Funktion so umstellen, dass x alleine auf einer Seite steht
• den Definitionsbereich dieser umgestellten Funktion berechnen.

Zwei Beispiele:

• f(x) = x → y=x
  Hier braucht man nicht viel umstellen, wenn man die Gleichung umdreht, steht x schon auf einer Seite:
  x=y.
  Der Definitionsbereich von x=y ist leicht: es geht jede Zahl. Überträgt man das auf den Wertebereich, kann jede mögliche Zahl rauskommen. Du schreibst: W={y∈ℝ}.
• f(x) = x² →y = x²
  Wenn man diese Funktion nach x umstellt, indem man einfach die Wurzel bildet, erhält man x = √y.
  Wie vorhin schon gesagt, findest du den Definitionsbereich dieser Funktion, indem du alles unter der Wurzel kleiner als 0 setzt:
  y < 0. Daraus folgt für den Wertebereich W={y∈ℝ|y≥0}.

Viel Glück!