Funktionsscharen (Wendepunkte & Integralrechnung)

Hallo,

ich habe zwei Mathematikaufgaben, wo ich mir nicht recht sicher bin, ob dass Ergebnis richtig ist.


Nr.1
Gegeben ist die Funktionsschar f_a mit f_a(x)=x²-ax³+1

a) Zeigen sie, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen sie die zugehörige Gleichung.

Meine Rechnung+Ergebnis lautet:

Zuerst bilde ich die Ableitungen:

f´_a(x)=2x-3ax²
f´´_a(x)=2-6ax
f´´´_a(x)=-6a

1.Notwenige Bedingung:
f´´_a(x)=0 2-6ax=0 (-2 auf die andere Seite bringen)
-6ax=-2 ( /(-6a)
x=1/3a

2.Hinreichende Bedingung:

f´´´_a(1/3a)=-6a (das ist ungleich Null->Wendepunkt liegt vor

3.y-Koordinate bestimmen:

f_a(1/3a)=(1/3a)²-a*(1/3a)³+1
=1/9a²-a*(1/27a³)+1
=1/9a²-1/27a⁴+1

WP(1/3a...1/9a²-1/27a⁴+1)

x-Wert: 1/3a y-Wert:1/9a²-1/27a⁴+1)

Jetzt muss ich noch die Ortskurve bestimmen, wo die Wendepunkte (in diesem Fall nur einer) liegen

x=1/3a (durch 1/3 teilen)
3x=a

y=1/9a²-1/27a⁴+1

y=1/9(3x)²-1/27(3x)⁴+1

Wenn man das vereinfacht, dann kommt folgendes heraus:

y=x²-3x⁴+1

Aber ich glaube,dass das nicht richtig sein kann. Es müsste eigentlich ein Funktion mit der gleichung f(x)=ax²+bx+c (Parabel) herauskommen oder wie seht ihr das? Mein fehler liegt wahrscheinlich irgendwo bei der Null-bzw.Wendestelle. Ich bin mir unsicher, ob die richtig ist.

Nr.2
Die Graphen von f_a schließen mit der Geraden y=1 für x>0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a und bestimmen Sie, für welchen Wert von a diese Fläche 144 Flächeneinheiten groß ist.

Also ich weiß, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll:

Man bestimmt zunächst die Nullstellen von der Ausgangsfunktion(f_a(x)=x²-ax³+1) und bestimmt dann das Integral mithilfe dieser Stellen. Zum Schluss muss man das Ergebnis, welches man herausbekommt, mit 144 gleichsetzen und nach a umformen.

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist es, die Nullstellen von der Ausgangsfunktion zu berechenen. Ich kann bei der Ausgangsfunktion nichts ausklammern (das war im Unterricht noch möglich, weil überall ein x vorhanden war und in diesem Fall eben nicht.

Puuh! Hat ziemlich lange gedauert, dass alles einzutippen. Hab bestimmt an der ein oder anderen Stelle ein paar Recht-und grammatikfehler. Verzeiht mir diese bitte ^^

Danke im voraus :)