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Stochastik; ich komme nicht weiter

Frage: Stochastik; ich komme nicht weiter
(3 Antworten)


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Ich versuche mich gerade mal mit Stochastik (habe ich früher nie in der Schule gehabt und hier ist eine Aufgabe, an der ich mich festgefressen habe:

Zwei Bankräuber rauben maskiert eine Bank aus.
Als die Polizei auftaucht, mischen sie sich heimlich unter die Bankangestellten und Kunden. Die Polizei erfährt nur, dass 2 der 22 Menschen in der Bank die Räuber sind. Um nicht alle Menschen nach der Diebesbeute zu durchsuchen, greifen sie sich 2 Personen per Zufall aus der Gruppe.


Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) die Polizei beide Räuber zufällig auswählt?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erwischt die Polizei genau einen der Räuber?
(c) Wie viele Menschen hätten höchstens in der Bank sein dürfen, damit die Polizei mindestens 2% Chancen hätte um beide Räuber zu erwischen?

Meine Ansätze zu ab und b
a) P(B,B) = 2/22 x 1/21 = 2/462 = 1/231
b) P(B,B)+P(B,B) = 2/22 x 20/22 + 20/22 x 19/21 = 2300/2541

aber bei c habe ich überhaupt keinen Plan... und es wäre nett, wenn auch meine 2 Ansätze - falls sie falsch sind - korrigiert werden könnten.
Frage von Ratgeber | am 05.07.2013 - 18:44


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Antwort von Thammus | 06.07.2013 - 01:12
Hallo Ratgeber,

deine Lösung zu Aufgabenteil (a) ist soweit richtig.
Man hätte die Aufgabe ebenso gut mit Hilfe von Binomial-
koeffizienten lösen können:
Die Anzahl der Möglichkeiten aus 22 Personen 2 verschiedene
(ohne Beachtung der Reihenfolge) auszuwählen enspricht
"22 über 2" = 231.

Bei deinem Ansatz zu Aufgabenteil (b) haben sich allerdings ein
Paar Fehler eingeschlichen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste ausgewählte Person
ein Räuber ist und die Zweite nicht, errechnet sich als
2/22 * 20/21.
Wahrscheinlich ein Flüchtigkeitsfehler.
Und mit 20/22 * 19/21 errechnest du doch die Wahrscheinlichkeit,
dass keiner der 2 ausgewählten Personen ein Räuber ist. Gesucht
ist an dieser Stelle doch sicher die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die erste ausgewählte Person kein Räuber ist und die
Zweite schon. Dies entspräche 20/22 * 2/21.
Eine Möglichkeit Aufgabenteil (b) zu lösen, wäre also:
2/22 * 20/21 + 20/22 * 2/21 = 40/231.
Auch diese Aufgabe hätte man wieder mit Hilfe von Binomial-
koeffizienten lösen können.
Generell bei solchen "Abzählaufgaben" ergibt sich die Wahrschein-
lichkeit durch "Anzahl der Günstigen" geteilt durch "Anzahl der
Möglichen". "Günstig" in diesem Fall ist es, genau einen Räuber
zu erwischen, denn danach ist ja in der Aufgabenstellung gefragt.
Aus den 2 Räubern wird genau eine Person gewählt ("2 über 1") und
aus den 20 Nicht-Räubern wird ebenfalls eine Person gewählt ("20 über 2").
Logischerweise gibt es demnach genau 2 Möglichkeiten einen Räuber
auszuwählen und für jede dieser dann 20 Möglichkeiten einen
Nicht-Räuber auszuwählen. Also gibt es 2*20=40 Möglichkeiten 2
verschiedene Personen auszuwählen, von denen genau eine ein Räuber
ist. Dies entspricht hier der "Anzahl der Günstigen".
Instesamt werden aus 22 Personen genau 2 ausgewählt.
Dafür gibt es "22 über 2" = 231 Möglichkeiten. Diese entsprechen
hier der "Anzahl der Möglichen".
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Polizei genau einen Räuber
erwischt errechnet sich somit wie folgt:
("2 über 1" * "20 über 1") / ("22 über 2")
= ( 2 * 20 ) / (231) = 40/231.


So, nun zu Aufgabenteil (c):
Wie viele Menschen hätten höchstens in der Bank sein dürfen, damit die Polizei mindestens 2% Chancen hätte um beide Räuber zu erwischen?

Sei im Folgenden n die Anzahl der Personen in der Bank.
Dann errechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Polizei beide Räuber erwischt als:
P = 2/n * 1/(n-1) = 2/(n^2 - n)
Jetzt soll n so gewählt werden, dass diese Wahrscheinlichkeit
mindestens (also größer oder gleich) 2% = 0,02 ist.
Es soll also gelten:

2/(n^2 - n) >= 0,02
<=> 2 >= 0,02 * (n^2 - n)
<=> 0 >= 0,02 * (n^2 - n) - 2
<=> 0 >= n^2 - n - 100

Mit der pq-Formel ergibt sich:

n <= 1/2 + SQRT(1/4 + 100)
= 1/2 + SQRT(401/4)
= 10,51249...

Da hier von einer Anzahl von Personen die Rede ist, muss n ganzzahlig sein,
also n <= 10.
(Gezeigt werden sollte: n=10 ist die größte natürliche Zahl,
welche die Ungleichung 2/(n^2 - n) >= 0,02 erfüllt.)

Die korrekte Antwort zu Aufgabenteil (c) lautet demnach:
Es hätten höchstens 10 Menschen in der Bank sein dürfen, damit die Polizei mindestens 2% Chancen gehabt hätte um beide Räuber zu erwischen.


Ich habe versucht meine Antwort sehr ausführlich zu gestalten.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen.



Beste Grüße!


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Antwort von Ratgeber | 06.07.2013 - 15:28
Hallo Thammus,
Binomialkoeffizient sagt mir aus meiner Schulzeit so gar nix (weder mit über noch überhaupt...);
die pq-Formel kenne ich nur aus binomischen Gleichungen, da wir ja früher keine Wahrscheinlichkeitsrechnung hatten (Mitte der 60er);
gibt es für c keinen anderen Lösungsweg? Und wie sähe das Baumdiagramm c aus, wenn es denn überhaupt möglich ist eins zu zeichnen, denn die Aufgabe ist ja "von hinten aufgezäumt"...


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Antwort von Thammus | 06.07.2013 - 17:30
Manchmal ist es ganz hilfreich auch in der Wikipedia einzelne Begriffe nachzulesen. Der Artikel über Binomialkoeffizienten ist soweit ich es beurteilen kann mathematisch korrekt und liefert mehrere Definitionen und viele Beispiele:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

Was man in Bezug auf die Kombinatorik mit dem Binomialkoeffizienten ausrechnet habe ich ja bereits erklärt:
Die Zahl "n über k" beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten aus einer n elementigen Menge k Objekte auszuwählen (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge).
Ausrechnen kann man den Binomialkoeffizienten zum Beispiel mit Hilfe der Fakultät. Ist diese bekannt?
n! (gelesen "n Fakultät) ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis n.
Also zum Beispiel 5! = 1*2*3*4*5. OK, mal 1 zu rechnen kann man sich natürlich sparen.
Wie auch auf Wikipedia nachzulesen errechnet sich der Binomialkoeffizient wie folgt:
"n über k" = n!/(k! * (n-k)!)

Auf wissenschaftlichen Taschenrechnern ist die Taste zum Berechnen des Binomialkoeffizienten meist mit "nCr" gekennzeichnet.

Beim klassischen Lotto zum Beispiel werden aus 49 Kugeln 7 Stück ausgewählt, ohne das dabei eine wieder zurück gelegt wird.
Auch die Reihenfolge in der die Kugeln gezogen werden spielt hier keine Rolle, sondern nur, welche Zahlen am ende gezogen wurden.
Deshalb berechnet sich die Anzahl der möglichen Kombinationen beim Lotto 6 aus 49 wie folgt:
"49 über 6" = 49!/(6! * 43!) = (44*45*46*47*48*49)/(1*2*3*4*5*6)
= 13983816 also rund 14 Millionen.


In meiner Lösung zu Aufgabenteil (c) kamen keine Binomialkoeffizienten vor. Will man unbedingt einen Baum zur (c) zeichnen, dann sähe dieser so aus:
n beschreibt die Anzahl der Personen in der Bank


Bei Vorliegen der Normalform


lauten die Lösungen nach der p-q-Formel



Wie bereits von mir geschildert muss man nicht unbedingt diese quadratische Ungleichung lösen.
Zum Lösen des Aufgabenteils (c) genügt es wie gesagt die größte natürliche Zahl zu finden, welche die Ungleichung
2/(n^2 - n) >= 0,02
erfüllt.
Auf der linken Seite steht die Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die Polizei beide Räuber erwischt,
also der oberste Pfad im Baumdiagramm.
Auf der linken Seite steht 2%.
Setzt man n=9 bekommt man 2/(81-9) = 2/72 = 0,0277777... > 0,02
9 erfüllt also die Ungleichung.
Setzt man n=10 bekommt man 2/(100-10) = 2/90 = 0,022222... > 0,02
10 erfüllt also auch noch die Ungleichung.
Setzt man n=11 bekommt man 2/(121-11) = 2/110 = 0,0181818... < 0,02
11 erfüllt die Ungleichung also nicht.
Damit ist n=10 die größte natürliche Zahl, welche die Ungleichung erfüllt. Damit dürfen höchstens 10 Menschen in der Bank sein.
Sollten es mehr sein, dann wird die Wahrscheinlichkeit beide Räuber zu erwischen kleiner als 2%.
Aufgabenteil (c) lässt sich also auch durch ausprobieren lösen, wenn man die quadratische (Un-)Gleichung nicht mit der pq-Formel lösen möchte.

Beste Grüße!

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