Stochastik; ich komme nicht weiter

Hallo Ratgeber,

deine Lösung zu Aufgabenteil (a) ist soweit richtig.
Man hätte die Aufgabe ebenso gut mit Hilfe von Binomial-
koeffizienten lösen können:
Die Anzahl der Möglichkeiten aus 22 Personen 2 verschiedene
(ohne Beachtung der Reihenfolge) auszuwählen enspricht
"22 über 2" = 231.

Bei deinem Ansatz zu Aufgabenteil (b) haben sich allerdings ein
Paar Fehler eingeschlichen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste ausgewählte Person
ein Räuber ist und die Zweite nicht, errechnet sich als
2/22 * 20/21.
Wahrscheinlich ein Flüchtigkeitsfehler.
Und mit 20/22 * 19/21 errechnest du doch die Wahrscheinlichkeit,
dass keiner der 2 ausgewählten Personen ein Räuber ist. Gesucht
ist an dieser Stelle doch sicher die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die erste ausgewählte Person kein Räuber ist und die
Zweite schon. Dies entspräche 20/22 * 2/21.
Eine Möglichkeit Aufgabenteil (b) zu lösen, wäre also:
2/22 * 20/21 + 20/22 * 2/21 = 40/231.
Auch diese Aufgabe hätte man wieder mit Hilfe von Binomial-
koeffizienten lösen können.
Generell bei solchen "Abzählaufgaben" ergibt sich die Wahrschein-
lichkeit durch "Anzahl der Günstigen" geteilt durch "Anzahl der
Möglichen". "Günstig" in diesem Fall ist es, genau einen Räuber
zu erwischen, denn danach ist ja in der Aufgabenstellung gefragt.
Aus den 2 Räubern wird genau eine Person gewählt ("2 über 1") und
aus den 20 Nicht-Räubern wird ebenfalls eine Person gewählt ("20 über 2").
Logischerweise gibt es demnach genau 2 Möglichkeiten einen Räuber
auszuwählen und für jede dieser dann 20 Möglichkeiten einen
Nicht-Räuber auszuwählen. Also gibt es 2*20=40 Möglichkeiten 2
verschiedene Personen auszuwählen, von denen genau eine ein Räuber
ist. Dies entspricht hier der "Anzahl der Günstigen".
Instesamt werden aus 22 Personen genau 2 ausgewählt.
Dafür gibt es "22 über 2" = 231 Möglichkeiten. Diese entsprechen
hier der "Anzahl der Möglichen".
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Polizei genau einen Räuber
erwischt errechnet sich somit wie folgt:
("2 über 1" * "20 über 1") / ("22 über 2")
= ( 2 * 20 ) / (231) = 40/231.


So, nun zu Aufgabenteil (c):
Wie viele Menschen hätten höchstens in der Bank sein dürfen, damit die Polizei mindestens 2% Chancen hätte um beide Räuber zu erwischen?

Sei im Folgenden n die Anzahl der Personen in der Bank.
Dann errechnet sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Polizei beide Räuber erwischt als:
P = 2/n * 1/(n-1) = 2/(n^2 - n)
Jetzt soll n so gewählt werden, dass diese Wahrscheinlichkeit
mindestens (also größer oder gleich) 2% = 0,02 ist.
Es soll also gelten:

2/(n^2 - n) >= 0,02
<=> 2 >= 0,02 * (n^2 - n)
<=> 0 >= 0,02 * (n^2 - n) - 2
<=> 0 >= n^2 - n - 100

Mit der pq-Formel ergibt sich:

n <= 1/2 + SQRT(1/4 + 100)
= 1/2 + SQRT(401/4)
= 10,51249...

Da hier von einer Anzahl von Personen die Rede ist, muss n ganzzahlig sein,
also n <= 10.
(Gezeigt werden sollte: n=10 ist die größte natürliche Zahl,
welche die Ungleichung 2/(n^2 - n) >= 0,02 erfüllt.)

Die korrekte Antwort zu Aufgabenteil (c) lautet demnach:
Es hätten höchstens 10 Menschen in der Bank sein dürfen, damit die Polizei mindestens 2% Chancen gehabt hätte um beide Räuber zu erwischen.


Ich habe versucht meine Antwort sehr ausführlich zu gestalten.
Ich hoffe ich konnte weiterhelfen.



Beste Grüße!