Beweismethode : Die vollständige Induktion!
Frage: Beweismethode : Die vollständige Induktion!(14 Antworten)
Hallo Leute, bei mir gehts jetzt um die Wurst. Die Aufgabe: "Ein Rechteck wird durch n Geraden in Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, ... zerlegt. Wie viele Teile entstehen höchstens? Beweisen Sie Ihre Vermutung." Könnte mir jemand Starthilfe geben?`:) Liebe Grüße Hannes;) |
| Frage von akyra_ (ehem. Mitglied) | am 08.05.2013 - 18:33 |
| Antwort von shiZZle | 08.05.2013 - 18:39 |
Nimm |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 18:52 |
Ok. Mal sehen... k(Anzahl der Geraden)|F(Flächen) 1 | 2 2 | 4 3 | 7 4 | 11 5 | 15 noch fällt mir nichts auf... |
| Antwort von shiZZle | 08.05.2013 - 18:56 |
Versuch am besten mal daraus eine Formel zu erstellen. Das sollte eigentlich nicht zu schwer sein. |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 19:01 |
1 | 2 2 | 4 3 | 7 4 | 11 5 | 15 k = 2^k stimmt bei k=3 schon nicht mehr. mhh.. k^2+k mit sowas komm ich auch nicht gerade weiter. |
| Antwort von shiZZle | 08.05.2013 - 19:05 |
k^2 + k sieht schon ganz gut aus. Versuch es jetzt nur noch mit einem Faktor zu multiplizieren, sodass es klappt (Und natürlich fehlt dann noch so etwas wie +c wobei c eine reelle Zahl ist) |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 19:08 |
1 | 2 2 | 4 3 | 7 4 | 11 5 | 15 (k^2 + k) / 2 + 1 ? |
| Antwort von shiZZle | 08.05.2013 - 19:09 |
Jop, sieht doch super aus. Und jetzt steht die vollständige Induktion an :) |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 19:14 |
I : Die Aussage gilt für eine erste natürliuche Zahl n = 1 n = (k^2+k) / 2 + 1 1 = (1+1) / 2 + 1 = 2 CHECK! II: Die Aussage gilt für (k+1) 2 = (4+2) / 2 + 1 = 4 CHECK! III: Da gilt: I u. II, so gilt die Aussage für alle natürlichen Zahlen. 1. Ich bin verwirrt, wann und was k und n sind. 2. Das muss doch falsch sein : 2 = 4 ; wie drücke ich das richtig aus? |
| Antwort von Mathe3 | 08.05.2013 - 19:25 |
Deine erste Kontrolle ist glaube ich richtig. Aber dann nicht für 2 einsetzen sondern. Irgendwie: ((k+1)²+k+1)/2+1^=(k²+k)/2+1+ Dein anderes Teil oder so. Ich kann das leider auch nicht so richtig. Man kann glaube ich aber auch noch 3 weitere Beispiele nehmen. Das ist jedoch dann noch nicht der richtige Hauptbeweiseteil. |
| Antwort von shiZZle | 08.05.2013 - 19:28 |
So geht das natürlich nicht. Versuchs mal dadrüber: a_n+1 = a_n + 1 mit a_n = n(n+1)/2 Der sinn der V.I. ist es, etwas für eine Zahl zu zeigen z.b. n = 1 und dann dies zu benutzen und zu zeigen, dass es für n+1 gilt. Dann erst hast du alle natürlichen Zahlen abgedeckt. Es sieht im allgemeinen meist so aus: I.A. : n = 1 : .... IV: Sei n fest aber bel, sodass für n gilt. I.S. n -> n+1 : ..... |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 19:31 |
Bevor ich das versuche; Wo genau finde ich in dieser Formel meine Vermutung? |
| Antwort von akyra_ (ehem. Mitglied) | 08.05.2013 - 20:51 |
SO.. hab mal nochmal von vorne angefangen: bin bei: 1+(1+2+3+...+k) = [n *(n+1)]/2 + 1 Das sollte nun meine Vermutung darstellen?! Wie geht es weiter? n=1 ? aber dann kommt 1=2 raus!?!?!?! Oder geht es so: F(n)=[n * (n+1)]/2 + 1 Dann wäre F(1)=2 ; Das würde gut aussehen!? Aber wie geht dann das testverfahren!?!?! |
| Antwort von Mathe3 | 08.05.2013 - 21:11 |
So ich versuche mich mal. Wenn Du 1 einsetzt hast Du: 1+(1)=[1*(1+1)/2+1 und dann 2=2 nun willst Du also sagen: 1+1+2+3+...+n=[n*(n+1)]/2+1 Nun sagst Du das muss auch für n+1 gelten 1+1+2+3+...+n+(n+1)=[n*(n+1)]/2+1+(n+1) Das muss man glaube ich so umformen, dass Du zu (n+1)(n+2)/2+1 kommst. Aber keien Garantie. Ich verstehe das nicht? Hast Du Deinen Account gelöscht? Wurde er gelöscht? Ist Dein Problem gelöst? Bist Du unglücklich, dass Du noch nicht fertig bist? |
| Antwort von shiZZle | 09.05.2013 - 06:04 |
Okay so wird das ja alles nichts wirklich. Zu zeigen: sum(k=1,n) k = n*(n+1)/2 IA: n = 1 => sum(k=1,1) k = 1 = 2/2 = (1+1)/2 = 1*(1+1)/2 IV: sei n fest aber beliebig sd. es für n gilt IS: n->n+1 [also zu zeigen: sum(k=1,n+1) k = (n+1)(n+2)/2] sum(k=1,n+1) k = sum(k=1,n) k + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = n*(n+1)/2 + 2*(n+1)/2 = (n+1)/2 * (n+2) q.e.d. |
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