Topologische Räume und Injektivität
Frage: Topologische Räume und Injektivität(4 Antworten)
Habe bei zwei Aufgaben so meine Probleme. 1.: X ein top. Raum. M Teilmenge von X. M° (Menge der inneren Punkte), M` (Menge der Berührpunkte), sM (Menge der Randpunkte). Zeige: a) sM = M`M° Naja nach Vorlesung gilt: M` = sM Vereinigt mit M° Daraus folgt doch sofort was zu zeigen ist. b) Y weiterer top. Raum. N Teilmenge Y, so gilt bzgl. Produkttoppologie auf XxY: (MxN)° = M°xN° , (MxN)` = M`xN` , s(MxN) = (sMxN`) Vereinigt (M`x sN) Habe mit b so meine Schwierigkeit. 2. Zitat:Aufgabe 3. Habe gezeigt, dass wenn phi = lambda xsi ist, dass dann die Gleichung oben erfüllt ist. Das wäre ja Rückrichtung. Hinrichtung finde ich trivial. Ist dem nicht so? Und mein zweites Problem liegt darin, zu zeigen, dass es noch injektiv ist. |
| Frage von shiZZle | am 09.05.2012 - 22:45 |
| Antwort von v_love | 10.05.2012 - 19:35 |
bei 1 ist wohl die einzige schwierigkeit das in der sprache der top räume auszudrücken; die aufgabe dient auch wohl hauptsächlich um sich daran zu gewöhnen. eig. geht das aber straightforward, setze nun U*=U x U` teilmenge X x Y, dann ist diese menge offen und p aus U* teilmenge M x N, also p aus (MxN)°. "Ist dem nicht so?" eigentlich ist diese schwieriger  ...finde ich zumindest. "Und mein zweites Problem liegt darin, zu zeigen, dass es noch injektiv ist." da ist nichts zu zeigen, psi ist orthogonal, damit bijektiv; multiplikation mit einer zahl ungleich 0 ändert an bijektivität gar nichts. |
| Antwort von TheMonotype (ehem. Mitglied) | 10.05.2012 - 21:01 |
"sei (x,y)=p aus M°x N°, also x aus M°, y aus N°, dann existieren (offene) umgebungen U teilmenge X, U` teilmenge Y mit x aus U teilmenge M, y aus U` teilmenge N. setze nun U*=U x U` teilmenge X x Y, dann ist diese menge offen und p aus U* teilmenge M x N, also p aus (MxN)°." - muss man nicht auch noch die andere Richtung zeigen, dass wenn p aus (MxN)° kommt => p ¤ M° x N° ? |
| Antwort von v_love | 10.05.2012 - 21:31 |
ja, muss man. |
| Antwort von shiZZle | 10.05.2012 - 22:56 |
Alles klar, werde mich mal morgen an die Topologischen Räume dran machen. Habe Lineare Algebra fast fertig. Mir fehlt die Zusatz (was nicht zwingend notwendig ist) und die Aufgabe 1: Zitat: Habe es so versucht, aber scheitere dann - Aufgabe 1: da A aus O_n => det(A) = +-1 Also muss ich zeigen: i) phi(z^1)x...x phi(z^(n-1)) = + phi(z^1x....xz^(n-1)) und ii) phi(z^1)x...x phi(z^(n-1)) = - phi(z^1x....xz^(n-1)) Nach Aufgabe 3.1 gilt, dass es diese spezielle Summe ist. Also sum (-1)^(i+1) * det(A_i)*e_i Setze ich das ein, habe ich: i) phi(z^1x....xz^(n-1)) = phi(sum (-1)^(i+1) * det(A_i)*e_i) = A* sum (-1)^(i+1) * det(A_i)*e_i Wenn ich aber von der anderen Seite starte: phi(z^1)x...x phi(z^(n-1)) = A*z^1 x...x A*z^(n-1) Wenn ich nun die A`s rausziehen könnte, dann würde ja gelten: = A^n * (z^1 x...x A*z^(n-1)) So und diese beiden Sachen oben kann ich nicht gleichsetzen. Wo ist der Knackpunkt? |
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