V=Kern(f^N) + Bild(f^N)

Moin, :-)

Ich habe da so ein klitze kleines Problemchen.
Ich muss zeigen, dass

V=Kern(f^N)+Bild(f^N), wobei um das Plus ein Kreis steht.

gegeben ist:

K Körper
V endlich-dimensionaler K-Vektorraum
f:V -> V Vektorraumhomomorphismus
n e IN
f^n: V -> V bedeutet die Komposition f^n := f*f*...*f*f (das ganze n-mal)

Dann muss ich doch zeigen, dass
Kern(f^N)+Bild(f^N)=V (ohne den Kreis um das Plus) und
Kern(f^N) n Bild(f^N)={0}

Gezeigt habe ich bereits Kern(f^N) n Bild(f^N)={0}.

Jetzt hänge ich bei Kern(f^N)+Bild(f^N)=V fest.
Mein bisheriger Beweis lautet:

Kern(f^N)+Bild(f^N) c V (Teilmenge, nicht echte Teilmenge) da der Kern und das Bild Untervektorräume von V sind.

Jetzt müsste ich doch noch zeigen, dass V c Kern(f^N)+Bild(f^N) (Teilmenge, nicht echte Teilmenge) ist oder? Ich stehe gerade aber irgendwie auf dem Schlauch. Habe den Beweis bis dahin gestern Abend gemacht und irgendwie bin ich raus. Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet....