Rangungleichung von Sylvester
Frage: Rangungleichung von Sylvester(14 Antworten)
So habe folgende Aufgabe: Beh: Es sei n 2 Z>0. Idee: Ich habe ja hier einen Endomorphismus, deswegen wird die Geschichte bisschen einfacher. Ansatz: Es seien: phi_A(v) = A*v phi_B(v) = B*v phi_A(phi_B(v)) = AB*v => AB*v=0 Es gilt ja: Im(B) = B*v = w => A*w = 0 => Alle Bilder von phi_B sind Teilmenge vom Kern A => rg(B) <= dim(ker(A)) => rg(A) + rg(B) <= rg(A) + dim(ker(A)) Mit Dimensionssatz: rg(A) + rg(B) <= rg(A) + n - rg(A) => rg(A) + rg(B) <= n q.e.d. Keine Ahnung obs stimmt. Doch wie funkzt das ganze wenns kein Endo ist? |
| Frage von shiZZle | am 08.02.2012 - 22:41 |
| Antwort von Webperoni (ehem. Mitglied) | 08.02.2012 - 22:58 |
Vlt solltest du das einscannen und hier posten. und was ist Im(B)? Imaginärteil? Bild? |
| Antwort von shiZZle | 08.02.2012 - 23:06 |
Sry ^^ Okay: n Element Z>0 und Im(B) sollte man eigentlich schon verstehen in diesem Zusammenhang. Sollte schon das Bild sein. Imaginärteil hat hier wenig zu suchen  |
| Antwort von v_love | 08.02.2012 - 23:09 |
der imaginärteil einer matrix, natürlich ...  "Es gilt ja: Im(B) = B*v = w => A*w = 0 => Alle Bilder von phi_B sind Teilmenge vom Kern A" da gibts ein paar probleme bei der sprache, das bild von phi_B ist {Bv|v aus R^n} und das ist eine teilmenge von kern A, wie gezeigt. (im übrigen sollte man schon dazu schreiben, wo die abbildungen leben) "Keine Ahnung obs stimmt. Doch wie funkzt das ganze wenns kein Endo ist?" wie willst du die aussage denn dann formulieren? ...<=n, aber was soll dann n sein? |
| Antwort von shiZZle | 08.02.2012 - 23:11 |
Wie meinst du das mit Abbildungen leben? Soll ich noch hinschreiben V->W ? Will es ja formal richtig haben, so wie es der Herr v_love gerne hat :P (ernst gemeint) Also was ich nun gerne beweisen würde bzw. versuchen möchte aber nicht wirklich klappt, ist die Rangungleichung von Sylvester |
| Antwort von v_love | 08.02.2012 - 23:14 |
"Soll ich noch hinschreiben V->W ?" ja, bei der def. der abbildung gehört das dazu, wobei V, W hier nicht beliebige VR sind. "Also was ich nun gerne beweisen würde bzw. versuchen möchte aber nicht wirklich klappt, ist die Rangungleichung von Sylvester" hast du doch bewiesen, zumindest für den fall AB=0. |
| Antwort von shiZZle | 08.02.2012 - 23:19 |
Müsste ich hin schreiben K^n -> K^n ? Weil es ja nicht beliebige sein sollen. Oder reicht V->W aber nicht bel. VR hin zu schreiben. Was ich gerne versuchen würde bzw. woran ich und ein Kommilitone scheitern ist der Fall AB ungleich 0 |
| Antwort von Webperoni (ehem. Mitglied) | 08.02.2012 - 23:23 |
Ja das es keinen Imaginärteil einer Matrix gibt, das weiß ich selbst! Aber ich kannte eben "Im" nur im Zusammenhang mit Imaginärteil und kenne Bild auch nur als "Bild(..)". Wie sagte Westerwelle noch so schön? "Es ist Deutschland hier". Wieso also "Im" wie Image? Übrigens haben wir in Dortmund in Mathe extra moderierte Foren, in die wir solche Fragen stellen können. Und da können mathematische Ausdrücke auch schöner geschrieben werden, sodass man sie auch richtig lesen kann. Für mich ist das hier definitiv das falsche Forum für solche Fragen. |
| Antwort von shiZZle | 08.02.2012 - 23:27 |
Naja also falsches Forum eher weniger. Welches Forum hat schon jemanden wie v_love? |
| Antwort von Webperoni (ehem. Mitglied) | 08.02.2012 - 23:34 |
Na wie gesagt: "Mein" Forum ist moderiert, da gibt es unzählige davon. Habt ihr sowas nicht in Köln? |
| Antwort von v_love | 08.02.2012 - 23:34 |
"Müsste ich hin schreiben K^n -> K^n ? Weil es ja nicht beliebige sein sollen. Oder reicht V->W aber nicht bel. VR hin zu schreiben." ne, das reicht nicht, viel zu schwammig. wenn du hier einen K-VR mit dim n hast, kannst du K^n schreiben (gibt natürlich mehrere n-dim VR über K, die sich von K^n unterscheiden. sind aber alle isomorph zu K^n, insofern kann man O.E. K^n nehmen) "Was ich gerne versuchen würde bzw. woran ich und ein Kommilitone scheitern ist der Fall AB ungleich 0" geht analog, eine passende nxn matrix C suchen, sodass rg(A)+rg(B)<=rg(AB)+rg(C)+def(C) sichtbar wird. "Ja das es keinen Imaginärteil einer Matrix gibt, das weiß ich selbst!" klar "Welches Forum hat schon jemanden wie v_love?" hausaufgabenforen wie dieses wahrscheinlich wenige. wenn du aber (ähnliche) fragen hast und nicht darauf warten möchtest, bis hier irgendjemand online ist, der dir helfen kann, diese zu beantworten, würde ich dir - ohne werbung machen zu wollen matheraum.de empfehlen. |
| Antwort von shiZZle | 08.02.2012 - 23:45 |
1. Haben uns dann überlegt R^n -> R^n würde hier am sinnvollsten. 2. Naja aber was ist wenn ich keine nxn Matrizen habe, sondern so ungefähr: Beh: A Element M_k,n (K) , B Element M_n,l(K) : rg(A)+rg(B) <= n + rg(AB) Hier habe ich ja keine nxn Matrizen. |
| Antwort von v_love | 09.02.2012 - 00:24 |
ne, aber die dimensionsformel gilt immer noch genau so (deine abbildung geht dann nur nicht mehr in den n dim raum). da braucht es allso keine großartigen modifikationen. |
| Antwort von shiZZle | 09.02.2012 - 00:34 |
Hmm also ist der Beweis genauso analog? Eigentlich muss ich doch da einiges umschreiben. Zumal wie finde ich ein solches C von dem du sprachst? |
| Antwort von v_love | 11.02.2012 - 14:31 |
analog heißt (hier zumindest) nicht, dass du den beweis wortwörtlich abschreiben kannst. vielleicht skizziere ich einen möglichen lösungsweg: definiere die abbildungen alpha: R^n-->R^k, beta: R^l-->R^n, alpha°beta: R^l-->R^k vermöge alpha(v)=Av, beta(v)=Bv, (alpha°beta)(b)=ABv und formuliere die rangungleichung mittels der dimensionsformel in eine defektungleichung um: def(alpha°beta)<=defekt(alpha)+defekt(beta) sei nun {b1,...,bp} eine basis von kern(beta), nach dem basisergänzungssatz kann diese zu einer basis {b1,...,bp,...,bo} von kern(alpha°beta) ergänzt werden (denn wenn v aus kern(beta), dann v aus kern(alpha°beta)) definiere ci=Bbi für p+1<=i<=o und zeige: ci sind linear unabhängig, außerdem: ci aus kern(alpha) damit ist defekt(alpha)>=o-p und die behauptung bewiesen. |