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Cauchy-Folge

Frage: Cauchy-Folge
(2 Antworten)


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Huhu,
Ich habe mal wieder eine hochinteressante Frage.
Ich bin wahrscheinlich im Moment einfach nur zu blöd um auf die Idee zu kommen, weil ich im Moment so viel anderen Mathe-Kram im Kopf habe.

Also:
Wir betrachten die Folge (a_n)_(n e IN) = (1/n)_n e IN). Wir behaupten, dass dies eine Cauchy-Folge ist. Sei also €>0 und n0 so gewählt, dass n0>1/€. Mit n>=m>=n0 beliebig, gilt:

|a_m - a_n| = |1/m - 1/n| = |(n-m)/(mn)| <= n/(mn) = 1/m <= 1/n0 < €

€ := Epsilon
<= := kleiner gleich
>= := größer gleich

So, nun meine Frage, bzw das, was ich nicht nachvollziehen kann:

Warum setze ich hinter "|(n-m)/(mn)|" noch "<= n/(mn)"? Der Sinn wird mir nicht ganz klar.
Ich meine, logisch ist mir das klar, weil n-m allgmein schon weniger, als nur n, da n,m e IN gilt. Und somit nichts negatives für m eingesetzt werden kann. Aber wieso setze ich den Teil überhaupt dahinter?
Frage von clemens1992 (ehem. Mitglied) | am 03.02.2012 - 19:23


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Antwort von shiZZle | 03.02.2012 - 19:32
Damit du eine nutzbare Abschätzung für Epsilon bekommst. Wie willst du sonst n0 mit ins Boot kriegen?


Sonst würde es heißen: (n0 - n0)/n0² und dann würdest du folgern epsilon >0 . Und das ist ja Voraussetzung. Also hättest du nichts bewiesen


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Antwort von clemens1992 (ehem. Mitglied) | 03.02.2012 - 19:36
Klingt irgendwie logisch. Danke ;-)
Immer dieses Brett ^^

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