Linearkombination?

das buch hatte ihc frühr auch ^^
also ne linearkombination ist ja nur diese vektoren addiert oder halt vielfache von sich addiert.
gefragt ist, wie isch der gegebene vektor aus diesen vektoren a,b,c "bauen" lässt. zb 3a+2+b+5c als nicht auf die aufgaben bezogenes bsp.

ist alles richtig, ja.

eine basis von einem VR V ist ein system linear unabhängiger vektoren, dass V erzeugt.
die dimension ist die anzahl der basisvektoren.

z.z.: bei a) z.b.: r*(a+2c)+s(a-b-c)+t(a+b+c)=0 -->r=s=t=0.

dazu sortierst du die linearkombi nach a, b und c termen, wendest dann die voraussetzung ein, und hast nur noch ein homogenes lgs zu lösen.

kannst du machen ...

natürlich kannst du das.
die lineare unabhängigkeit garantiert dir, dass die koeffizienten der linearkombi eindeutig sind, es sind also äquivalent:
i. (b1,...,bn) ist eine basis von V
ii. es existieren eindeutig bestimmte r1,...,rn, sodass für jedes x aus V gilt x=r1*b1+...+rn*bn.

was du meinst ist folgendes: 0=r1*b1+...+rn*bn -->r1=...=rn=0

das stimmt auch. und daraus folgt, dass du x durch x=s1*b1+...+sn*bn darstellen kannst, wobei s1,...,sn eindeutig bestimmt, aber nicht notwendig 0, sind. umgekehrt folgt das auch, nämlich: wähle x=0, dann 0=s1b1+...+sn*bn, nun ist s1=...=sn auf jeden fall eine lösung (triviale lösung), aber nach voraussetzung auch die einzige, also folgt die lineare unabhängigkeit von b1,...,bn.

das ist an der stelle nicht ganz richtig gewesen.
was eigentlich daraus folgt ist die erwähnte eindeutigkeit der koeffizienten. dass du jedes x so darstellen kannst, ist sowieso klar, weil b1,...,bn den VR erzeugen.
insgesamt ergibt sich also die ebenfalls erwähnte äquivalenz.