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Matheaufgabe "symmetrische Differenz"

Frage: Matheaufgabe "symmetrische Differenz"
(15 Antworten)


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Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich komm da einfach nicht weiter..


Dieses Symbol "x" steht in dem Fall für symmetrische Differenz, dieses "n" für Durchschnittsmenge und "u" für Vereinigungsmenge.

Beweisen Sie für die symmetrische Differenz von AxB, definiert durch

AxB := (AB) u (BA),

die folgenden Behauptungen:
a) (AxB)nC = (AnC)x(BnC)

Wär super wenn mir jemand helfen könnte!
Frage von becks777 (ehem. Mitglied) | am 17.10.2010 - 20:03


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:04
Bei
der Definition von AxB muss zwischen A und B noch ein / stehen, genauso wie zwischen B und A ein / stehen muss.

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:06
du musst das in die sprache der logik umwandeln.
was bedeutet vereinigungsmenge, durchschnittsmenge und differenz für ein element jeweils?


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:27
die linke seite würde so aussehen:

ich hab für AxB einfach (A/B)u(B/A) genommen, also:

{x|x in A und x nicht in B} u {x|x in B und x nicht in A},

aber wie gehts weiter?

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:27
du musst es mit sicherheit nicht in irgendetwas umwandeln ... so ein quatsch.

bei A=B-mengenbeweisen ist folgendes zu zeigen:
a aus A <=>a aus B.

und das tust du, indem du auf (AnC)x(BnC) die Definition von x anwendest.
dann kannst du es etwas vereinfachen, und du kommst auf (AnC ohne B)u(BnC) ohne A, und das wars schon fast (anwendung des DG noch).

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:30
du kannst es natürlich auch ausführlich als mengen schreiben, aber x aus ... <=> x aus ... ist definitv kürzer.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:34
was meinst du mit DG?

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:36
distributivgesetz ...


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:39
ok, danke. dann versuchs ichs mal

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:43
Zitat:
du kannst es natürlich auch ausführlich als mengen schreiben, aber x aus ... <=> x aus ... ist definitv kürzer.


ist das nicht die sprache der logik?

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:48
natürlich ist es logik, wenn ich A-->B schreibe, oder A<=>B; in diesem sinne benutzt aber die gesamte mathematik die "sprache der logik".

man muss die mengen hier jedenfalls NICHT mit logischen verknüpfungen auseinanderbröseln, das macht die sache nur unübersichtlicher.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:48
muss ich also nur mt der rechten seite arbeiten?

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:51
du kannst dir auch die linke seite hernehmen; ich finde es aber so einfacher weil die rechte seite komplizierter zu verstehen ist. wenn du also die vereinfacht hast, hast du die linke seite.

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:54
Zitat:
natürlich ist es logik, wenn ich A-->B schreibe, oder A<=>B; in diesem sinne benutzt aber die gesamte mathematik die "sprache der logik".

man muss die mengen hier jedenfalls NICHT mit logischen verknüpfungen auseinanderbröseln, das macht die sache nur unübersichtlicher.


Ach so, man hatte uns halt nur gesagt, das, wenn wir einen beweis für mengen führen sollen, dann müssen wir die mengensprache in die Sprache der logik umwandeln (mit x ist aus... und/ aber nicht x ist aus...) und dann eben umstellen mit den regeln der logiksprache und dann wieder zum schluss zurückumwandeln.


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Antwort von becks777 (ehem. Mitglied) | 17.10.2010 - 20:54
ist das so richtig:

{x|x in A und x in C und x nicht in B} u {x|x in B und x in C und x nicht in A}

wie vereinfache ich weiter? wenn das bis dahin überhaupt stimmt ;)

 
Antwort von GAST | 17.10.2010 - 20:58
"Ach so, man hatte uns halt nur gesagt, das, wenn wir einen beweis für mengen führen sollen, dann müssen wir die mengensprache in die Sprache der logik umwandeln (mit x ist aus... und/ aber nicht x ist aus...) und dann eben umstellen mit den regeln der logiksprache und dann wieder zum schluss zurückumwandeln."

das gegenteil habe ich auch nicht behauptet.
kann man machen, wird aber etwas länger, wie man sieht ...



wie ich schon sagte, wendest du das DG an, wie lautet es: An(vereinigung über alle i aus I Mi)=vereinigung über alle i aus I (AnMi)

das kannst du auch beweisen ... mit der sprache der logik
(ist hier weniger lang)

aber ich denke, dass ihr das bereits bewiesen habt und benutzen dürft.

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