Eigenschaften v. Relationen

ein Äquivalenzpfeil geht immer in 2 Richtungen...
sonst ist es kein Äquivalenzpfeil.

Wo hast du das denn her?

ich weiß ja nicht, wie du das beweisen hast, aber ich weiß, dass der beweis falsch ist (denn 0 ist kollinear zu jedem v aus R³)
achte also ein wenig auf deine formulierungen.
die menge, über der du die relation betrachtest spielt eine nicht unwesentliche rolle.

zu deiner frage: ja, aber es geht dir nicht um ÄR, sondern um kollinearität als ÄR, und wäre vor allem die geometrische aussage des satzes interessant. insofern solltest du das vielleicht übersetzen, dann wird dir auch klar werden, was für eine triviale aussage das überhaupt ist, die man eig. überhaupt nicht beweisen muss.

ja, eben hauptsächlich

ich frage mich, was du dann mit irgendwelchen sätzen über ÄR anfangen willst (die zusammen mit ihrer begründung schon alleine 2 sätze mind. ausmachen), wenn nur 2 bis 3 sätze ausreichen.

a und b sind keine punkte, sondern vektoren.
kollinearität auf R³ ohne {0} ist nichts anderes als parallelität von geraden.

also skalierst und verschiebst du nur.

das ist richtig, allerdings bleibts bei der aussage, dass der vektoren keine punkte sind.

punkte können auf eindeutige weise durch vektoren charakterisiert werden. man spricht dann von ortsvektoren von punkten.
(auf diese wiese entsteht eine bijektion vom raum der puunkte in den R³)

"was ist eine bijektion?"

eine umkehrbare funktion

"und welchen vorteil hab ich bzw was bringt es mir, wenn ich das verschiebe?"

dann erhälst du parallele, u.U. verschiedene geraden.

erhälst damit die vertreter einer bestimmen, von dir gewählten, äquivalenzklasse.

das siehst du nicht ganz richtig.

du holst dir ein vektor, der nicht der nullvektor ist.
diesen streckst du um r, r durchläuft dabei ALLE reellen zahlen.
dann kannst du um einen FESTEN vektor verschieben.
da die kollinearität auf R³ ohne {0} eine ÄR ist, ist die parallelität von geraden eine ÄR, weil 2 geraden genau dann parallel sind, wenn die richtungsvektoren kollinear sind.

ich wollte dir nur ein wenig diese andere sichtweise zeigen.

musst es nicht im detaill verstehen, wenn ihr das noch nicht hattet.

"aber was war das jetz nochmal mit der äquivalenzklasse, also wofür sie benötigt wird?"

hast ja festgestellt, dass du eine ÄR hast, damit baust du dir eine klasse und erhälst damit alle (zu einer festen gerade) parallele geraden bzw. alle zu einem gewählten vektor kollineare vektoren (außer 0)

was für ein zusammenhang? zwischen was?

a=r*b, wobei a,b aus R³, r aus R.
hast du aber selber genannt, meine ich.

{r*a|r aus R ohne {0}}, man schreibt dafür kurz auch [a].
(und wo ich grade bei notationen bin: der vektorpfeil wird üblicherweise weggelassen)