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Matheaufgabe Funktionen

Frage: Matheaufgabe Funktionen
(12 Antworten)


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Habe da mal ne knifflige Aufgabe für die Mathecracks unter euch :)
Könntet ihr mir evtl mal dabei helfen :)
Wäre nett, vielen Danke schonmal im voraus.

Als Mutter-Tochter-Zerfall bezeichnet man den Zerfall eines radioaktiven Mutterstoffs in einen Tochterstoff, der ebenfalls zerfällt, weil auch er radioaktiv ist.
Zur Modellierung eines solchen Mutter-Tochter-Zerfalls werden die Funktionen g mit g(t ) = 200 × e-0,25×t , t > 0 und f mit f (t ) = 200*e^-0,25t × (1-e^-0,25t ) = 200*e^0,25t- 200*e^-0,5t, t > 0 , verwendet.

Aufgabe:

Für t > 12 ist in der oben stehenden Abbildung nicht mehr zu erkennen, ob der Graph der Funktion f ober- oder unterhalb des Graphen von g verläuft.

1. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von f immer unterhalb des Graphen von g verläuft.

2. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t, an dem der Unterschied d der Massen f und g nur noch 0,01 Milligramm beträgt.


[Kontrolle: d(t ) = 200*e^-0,5t]

Hier schonmal ein paar Ansätze:

Sind die Ansätze so richtig?

1. g = f

Wenn es keinen Schnittpunkt gibt ist dies doch bewiesen oder?

2. d = 0,01 und dann umformen oder?
Frage von nolle | am 19.09.2010 - 19:29

 
Antwort von GAST | 19.09.2010 - 19:33
1. nein,
du musst nachweisen, dass es keinen schnittpunkt für t>12 gibt, und z.b. g(13)>f(13).
wegen stetigkeit folgt dann die behauptung.

2.ja.


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Antwort von Peter | 19.09.2010 - 19:35
bei der 1 müsstest du dann noch zeigen, dass g(12)>f(12) ist.

bei der 2 hast du d(t) zur kontrolle. du müsstest d(t) also erstmal selbst aufstellen.
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Antwort von GAST | 19.09.2010 - 19:37
g(12)>f(12) musst du sicher NICHT zeigen.


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Antwort von nolle | 19.09.2010 - 19:41
1. nein, du musst nachweisen, dass es keinen schnittpunkt für t>12 gibt, und z.b. g(13)>f(13).
wegen stetigkeit folgt dann die behauptung.

Muss ich jetzt den Schnittpunkt berechnen oder nicht?

 
Antwort von GAST | 19.09.2010 - 19:42
wenn es keinen gibt, musst du auch keinen berechnen, nicht?


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Antwort von Peter | 19.09.2010 - 19:43
meine güte vagner, du musst wirklich immer auf kleinigkeiten rumreiten...

nolle wollte beweisen, dass es keinen schnittpunkt auf R+ gibt-->dann ist es völlig egal, ob du jetzt einen punkt im oder ausserhalb des gefragten bereiches einsetzt.
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Antwort von GAST | 19.09.2010 - 19:45
für t<=12 sieht man doch die graphen, da ist - laut aufgabe - nichts zu beweisen.


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Antwort von Peter | 19.09.2010 - 19:49
na wo ist dann das problem?

dann muss man ja gar nix weiter zeigen, wenn es auf R+ keinen schnittpunkt gibt.

du verwirrst schüler immer öfter bewusst, weil du auf korrekte formulierungen achtest. dir sollte klar sein, dass in der schule kineswegs so genau darauf geachtet wird wie in der uni.
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Antwort von GAST | 19.09.2010 - 19:54
"dann muss man ja gar nix weiter zeigen, wenn es auf R+ keinen schnittpunkt gibt."

so könnte man das in der tat auch sehen.
allerdings müsste man noch die stetigkeit der funktion mit in seine begründung einpflanzen, sie ist der eigentliche grund für diie behauptung.


"du verwirrst schüler immer öfter bewusst, weil du auf korrekte formulierungen achtest."

was man auch in der mathematik machen muss, und nichts mit verwirrung zu tun hat.

"dir sollte klar sein, dass in der schule kineswegs so genau darauf geachtet wird wie in der uni."

das kommt immer noch stark auf den lehrer an

edit: was ich aber noch erwähnen sollte (und so war auch meine erste idee die aufgabe zu lösen) ist: der nachweis von g-f>0 ist hier wesentlich effektiver als irgendetwas anderes.


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Antwort von Peter | 19.09.2010 - 20:00
ich hatte auch erst vor, g-f zu rechnen.

allerdings denke ich, dass nolle selbst einen ansatz hatte und es dann besser ist, diesen zu benutzen.
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Antwort von nolle | 20.09.2010 - 00:16
So mal ne Frage zu Aufgabe 2, ist das so richtig?

d(t)= g(t)- f(t)= 200 * e^(-0,25t) - ( 200 * e^(-0,25t) - 200 * e^(-0,5t) ) = 200 * e^(-0,25t) - 200 * e^(-0,25t) + 200 * e^(-0,5t) = 200 * e^(-0,5t)

d(t)= 0,001

200 * e^(-0,5t) = 0,01 | ln...

ln(200*e^(-0,5t)) = ln(0,01)-0,5t * ln(200) = ln(0,01) | / -0,5

t * ln (200) = -2 * ln(0,01) | ln (200)

t = -2 * ln(0,01) / ln(200)

 
Antwort von GAST | 20.09.2010 - 12:10
hast genau einen fehler eingebaut, und zwar hier:

"ln(200*e^(-0,5t)) = ln(0,01)-0,5t * ln(200) = ln(0,01)"

müsste -0,5t+ln(200)=ln(0,01) lauten, denn:
ln(a*b)=ln(a)+ln(b), funktionalgleichung des log.

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