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Kollineare vektoren aufgabe

Frage: Kollineare vektoren aufgabe
(33 Antworten)

 
Räumliches Koordinatensystem:

geg.
sind die Punkte K(3|2|-2), L(0|8|1), M(-1|3|3) und N(1|-1|1). Zeige dass KLMN ein trapez ist.

hinweis: in einem trapez KLMN sind KL(vektor) und MN(vektor), bzw. KN(vektor) und LM(vektor) kollinear.

hilft mir bitte
GAST stellte diese Frage am 07.09.2010 - 19:07

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 19:11
der hinweis löst ja schon die aufgabe ...

rechne KL aus, rechne MN aus.
weise nach, dass sie sich nur um ein skalar unterscheiden.

dann zeigst du, dass die punkte in einer ebene liegen.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 19:35
was ist ein skalar?
KL wäre dann: (-3|6|3), MN: (2|-4|-2)

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 19:41
jo, und jetzt schaust du dir die vektoren genauer an, existiert ein r aus R (ein skalar), sodass MN=r*KL?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 19:50
wie kommst du auf MN = r*KL? sowas hatten wir nicht in der schule. und ich verstehe den begriff skalar immernoch nicht.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:12
wie kommst du auf MN = r*KL? sowas hatten wir nicht in der schule. und ich verstehe den begriff skalar immernoch nicht.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:18
das ist eben die kollineritätsbedingung,
2 vektoren a,b aus R³, die nicht die nullvektoren sind, sind genau dann kollinear (bzw. lineaer abhängig), wenn ein r aus R existiert, sodass: a=r*b.

ein vektorraum betrachtet man immer über einem körper (für dich: über den reellen zahlen)
die elemente aus dem vektorraum nennt man dann vektoren, die elemente, aus dem körper nennt man skalare.
skalare deshalb, weil im vektorraum eine abbildung definiert ist, die eine streckung des vektors (skalrierung) darstellt.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:26
KL wäre dann: (-3|6|3), MN: (2|-4|-2)

MN = r*KL

Ist es nicht bei der Kollinearitätsprüfung nicht etwa so:

KL + r*MN = 0 ?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:29
das ist völlig egal, schließlich kann ich s:=-r definieren, dann passt es wieder.

wie auch immer: bestimme r.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:33
r = 2/3

das heißt, es gibt ein r, für das die gleichung erfüllt ist --> die beiden vektoren sind kollinear.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:36
hab ich auch raus. r = 2/3, und was jetzt weiter?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:37
fürs erste war´s das.

jetzt nur noch der nachweis, dass die punkte sich in einer ebene befinden.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:39
omg es härt wohl nie auf. und wie mach ich diesen nachweis? und wieso brauch ich den?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:39
ich hab jetzt die kollinearität geprüft.. aber jetzt weiß ich nicht ob es ein trapez ist

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:43
ein trapez ist nunmal eine ebene figur, es tut mir leid.

kannst z.b. mit K, L und M eine ebene aufstellen und mit N die punktprobe machen.

(übrigens wird der schritt oft weggelassen, sollte aber nicht weggelassen werden)

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:46
wie mach ich die punktprobe?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:48
nur ortsvektor des punktes in die gleichung einsetzen.

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:55
heißt jetzt was genau ?

 
Antwort von GAST | 07.09.2010 - 20:58
zu prüfen ist: existieren reelle zahlen r, s, sodass: NK=r*KL+s*LM.

 
Antwort von GAST | 13.09.2010 - 17:52
NK = r*KL + s*LM

jetzt nochmal im klartext und einfach verständlich wieso ich diese gleichung jetzt benutzen soll und wie du darauf kommst? wenn ich es ja mache, will ich es verstehen und anderen ja erklären können :)

 
Antwort von GAST | 13.09.2010 - 18:05
bei einem trapez müssen alle 4 punkte in genau einer ebene liegen.
falls solche r,s existieren, dann liegen die punkte in einer ebene, sonst nicht. (die bedingung ist also hinreichend und notwendig).
denn: KL und LM spannen die ebene auf (man schreibt für r*KL+s*LM auch <KL, LM>), liegen die punkte in einer ebene, so muss der verbindungsvektor in dem aufspann liegen. (der umkehrschluss gilt auch)
das kannst du dir hoffentlich anschaulich vorstellen, ohne das ich noch was rechnen müsste.

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