Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Einsetzungs

Wie es geht:
(Formatierung wird hier leider etwas schlechter dargestellt!)



Lösen linearer Gleichungssysteme

Anhand eines Beispiels:

10a + 12b = 38

15a + 2b = 19,4

mit römischen Ziffern nummerieren.

I: 10a + 12b = 38

II: 15a + 2b = 19,4


Gleichsetzungsverfahren



1.) Löse beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.

2.)Setze die anderen Seiten der Gleichungen einander gleich.

3.) Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.

4.) Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable.



Beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auflösen (hier nach b):



I:

10a + 12b = 38 | -10a

12b = 38 - 10a | : 12

b = 3,16666 – 0,83333a



II:

15a + 2b = 19,4 | -15a

2b = 19,4 - 15a | : 2

b = 9,7 – 7,5a



Nun kann man beide Gleichungen gleichsetzen:



3,16666 – 0,83333a = 9,7 – 7,5a



Diese kann man nun nach a auflösen:



3,16666 – 0,83333a= 9,7 – 7,5a | + 7,5a | -3,16666

- 0,83333a + 7,5a = 9,7 – 3,16666

6,66666a = 6,53333 | : 6,66666

a = 0,98



Jetzt kann man das a in eine der beiden Anfangsgleichungen einsetzen und man erhält das zugehörige b:



a = 0,98

in I:

10 * 0,98 + 12b = 38

9,8 + 12b = 38 | -9,8

12b = 28,2 | : 12

b = 2,35





Einsetzungsverfahren



1.) Löse eine Gleichungen nach einer Variablen auf.

2.) Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.

3.) Löse die so entstandene Gleichung nach der enthaltenen Variablen auf.

4.) Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 ein und berechne so die andere Variable.





II nach a auflösen ergibt:



15a + 2b = 19,4 | -15a

2b = 19,4 - 15a | : 2

b = 9,7 – 7,5a



nun den Term für b in die andere Funktion I einsetzen und lösen:



10a + 12 * (9,7 – 7,5a) = 38

10a + 116,4 – 90a = 38 | -116,4

10a – 90a = -78,4

-80a = -78,4 | : (-80)

a = 0,98



Nun a in oben nach b aufgelöste Gleichung einsetzen und ausrechnen:



b = 9,7 – 7,5 * 0,98

b = 2,35





[b]Additionsverfahren[/b)



Beispiel:



I: 3x + 4y = -12

II: 4x - 7y = 21



Ziel ist es, das LGS in Stufenform zu bringen, d.h. dass man Variablen wegfallen lässt und in einer Zeile eine Variable definiert ist (also z.B. x = 4)!



Vorgehensweise:

- Man formt erst beide Gleichungen so um, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen.

- Einzelne Variablen werden in den Zeilen auf den gleichen Vorfaktor gebracht, damit man sie subtrahieren bzw. addieren kann. Dazu multipliziert man die Variable in den betreffenden Zeilen mit einer entsprechenden Zahl, damit die Variablen in allen Zeilen den gleichen Vorfaktor haben.

- Anschließend subtrahiert bzw. addiert man die Gleichungen und mindestens eine Variable müsste wegfallen.

- Diesen Vorgang wiederholt man so lange, bis das Gleichungssystem in der Stufenform ist.



Beispiel für die Stufenform:

3a + 5b + c = 6

4a + 3b = 3

2a = 4



Somit wäre nämlich die erste Variable (a) sofort bestimmbar. A setzt man dann in die Gleichung mit zwei unbekannten Variablen ein und löst nach de unbekannten Variablen auf. Das wiederholt sich dann mit der Anzahl der Gleichungen.



I: 3x + 4y = -12 | * 4

II: 4x - 7y = 21 | * 3



I: 12x + 16y = -48 |

II: 12x - 21y = 63 | - I



I: 12x + 16y = -48 |

II: - 37y = 111 |



(Hier ist die Stufenform erreicht und man kann direkt die erste Variable bestimmen!)



- 37y = 111 | : (-37)

y = - 3



Nun setzt man y = - 3 in I ein um nach x aufzulösen:



12x + 16 * (-3) = -48 |

12x - 48 = -48 | + 48

12x = 0 | : 12

x = 0



Probe:

Wichtig: Die Probe muss in allen Gleichungen erfolgen. Stimmt eine nicht überein, sind die Variablen nicht Lösung des LGS und es hat keine Lösung!



I: 3x + 4y = -12

3 * 0 + 4 * (-3) = 12

0 – 12 = 12

stimmt



II: 4x - 7y = 21

4 * 0 -7 * (-3) = 21

0 + 21 = 21

stimmt auch



x = 0 und y = -3 ist somit die Lösung des LGS!