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Extremalprobleme. Wie gehts weiter? :S

Frage: Extremalprobleme. Wie gehts weiter? :S
(8 Antworten)


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Zitat:
Eine ganzrationale Funktion 4.
Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Sattelpunkt. Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung
y(x)= 48x - 48.
Wie lautet die Funktionsgleichung?


Das ist meine Aufgabe. So, ich habe erst mal damit angefangen, die Funktion und ihre Ableitungen zu bilden:

f(x)=ax^4+bx³+cx²+dx+e
f`(x)=4ax³+3bx²+2cx+d
f``(x)=12ax²+6bx+2c

Dann habe ich mir überlegt, dass ...

... bei dem lokalem Extrema:
x=0
f`(0)=0 4a*0³+3b*0²+2c*0+d=0 -> d=0

... bei dem Sattelpunkt:
x=-1
f``(-1)=0 12a*(-1)²+6b*(-1)+2c=0 -> 12a-6b+2c=0


Wie geht`s weiter?
Ist das überhaupt bis jetzt richtig?

:(
Frage von Jessie.* (ehem. Mitglied) | am 18.05.2010 - 18:33

 
Antwort von GAST | 18.05.2010 - 18:38
sattelpunkt heißt zusätzlich noch, dass f`(-1)=0 gilt.


und dann weißt du noch, f`(1)=y`(1) gilt und f(1)=y(1), da y tangente an G(f) in (1|f(1)) ist.


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Antwort von Jessie.* (ehem. Mitglied) | 18.05.2010 - 19:01
Okay. Ich habe wie folgt weiter gerechnet:

Sattelpunkt:
f`(x)=0 4a*(-1)³+3b(-1)²+2c*(-1)+d=0 -> -4a+3b-2c+d=0

f`(1)=y`(1)
4a+3b+2c+d=48

f(1)=y(1)
a+b+c+d+e=0

|12a-6b+2c=0|
|-4a+3b-2c=0|
|4a+3b+2c=48|
|a+b+c =0| *(-2)

|12a-6b+2c=0| +
|-4a+3b-2c=0|
|4a+3b+2c=48| +
|-2a-2b-2c=0|

|8a-3b=0|
|2a+b=48|*3

|8a-3b=0| +
|6a+3b=144|

14a=144 -> a= 72/7

2* 72/7 + b=48 -> b= 192/7

12* 72/7 -6* 192/7 +2c=0 -> c= 144/7

72/7 + 192/7 + 144/7 + 0 + e=0 -> e= -(408/7)


ist das richtig? :S

 
Antwort von GAST | 18.05.2010 - 19:05
wohin verschwindet denn bei dir das e?


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Antwort von Jessie.* (ehem. Mitglied) | 18.05.2010 - 19:09
aaach miiiist. :D haha. danke ich schreib dann wieder wenn ichs ausgerechnet habe.


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Antwort von Jessie.* (ehem. Mitglied) | 18.05.2010 - 19:15
ohh ich komme nicht weiter.
also :

|12a-6b+2c=0|
|-4a+3b-2c=0|
|4a+3b+2c=48|
|a+b+c+e=0| *(-2)

|12a-6b+2c=0| +
|-4a+3b-2c=0|
|4a+3b+2c=48| +
|-2a-2b-2c-2e=0|

|8a-3b=0|
|2a+b-2e=48| *3

|8a-3b=0| +
|6a+3b-6e=144|

14a-6e=144


und jetzt? :S

 
Antwort von GAST | 18.05.2010 - 19:19
am besten du gehst es etwas geordneter an.

schmeiße die a´s aus zeile 2-4 raus, indem du ein vielfaches der zeilen nimmst, dann mit erster zeile, die du beibehälst addierst.
dann schmeißt du die b`s aus zeile 3-4 raus.
dann musst du nur noch c eliminieren und hast die gesufte form des lgs.

dann kannst du weiter eliminieren um auf die form Ex=A-1b zu kommen, oder du setzt rückwärts ein


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Antwort von Jessie.* (ehem. Mitglied) | 18.05.2010 - 19:25
Zitat:
dann kannst du weiter eliminieren um auf die form Ex=A-1b zu kommen, oder du setzt rückwärts ein


kannst du das vielleicht erklären ?

 
Antwort von GAST | 18.05.2010 - 19:33
na ja, wenn du die dreiecksform hast, kannst du e sofort ablesen.
dann könntest du das in gleichung 3 einsetzen, und nach c auflösen, usw.

oder du kannst eben weiter eliminieren, z.b e aus zeile 1/3 bis du in der diagonalen nur einsen hast, sonst nur nullen, also bis du links delta(ij) stehen hast.
rechts stünde dann das ergebnis

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