Exponentialfunktion

Habe folgende Funktion:

f_k(t) = 80*e^kt - 1/3 * e^2kt

k > 0

Ableitungen:

f_k`(t) = 80k * e^kt - 2/3 k* e^2kt

f_k``(t) = 80k² * e^kt - 4/3 k²* e^2kt

f_k```(t) = 80k³ * e^kt - 8/3 k³* e^2kt



Nullstellen habe ich.
Bin nun bei den Extrema:

f_k`(t) ) = 0

80k * e^kt - 2/3 k* e^2kt = 0

Substitution: z = k*e^kt

=> 80z - 2/3z² = 0

z_1 = 0 und z_2 = 120

z_1 fällt weg, da es außerhalb des Definitionsbereichs liegt


t_E = ln(z/k)/k = ln(120/k)/k

Soweit so gut. Wenn ein Fehler vorliegt, bitte bescheid geben.


So nun Hoch bzw. Tiefpunkt ermitteln:

f_k``(t_E) = 9600k - 19200

somit gilt:

Hochpunkt bei 0 < k < 2

Tiefpunkt bei k > 2



Nun wollte ich den y-Wert ermitteln:

f_k(t_E) = 80*e^(k*(ln(120/k)/k)) - 1/3 * e^2(k*(ln(120/k)/k))

= 80 e^ln(120/k) - 1/3 e^(2*ln(120/k))

= 80 * 120/k - 1/3 * (120/k)² = 9600/k - 4800/k²


Das Problem ist nur, dass ich hier eine Zeichnung gegeben habe mit dem Graphen f_0,5(t) und das bei diesem der Extrema ungefähr bei (10|5000) liegt.

Berechne ich nun:

E(ln(120/k)/k | 9600/k - 4800/k² ) mit k = 0,5 so kommt daraus:

E(10,96 | 0) und das kann ja eigentlich nicht sein. Wo liegt also mein Fehler?