Funktionsschar: Wert von a gesucht !

Hallo ich sitze gerade an folgender Aufgabe:


Gegeben ist die Funktionschwar fa(x) = 3ax -1/3*x³, a€R+ mit dem beliebig wählbaren, aber festen Parameter a.

a) hab ich schon erledigt

b)Für welchen Wert von a nimmt der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von fa(x) und der Normalen im Wendepunkt den Wert 6 an?

Meine Ansätze:

fa`(x)=3a-3x²
fa``(x)=-6ax
fa```(x)= -6

fa``(x)= 0
0=-6x
x=0
fa```(x)=-6 < 0 -> LR-Kurve

Tangentensteigung: f`(0)=3a
Normalen-Steigeung: -1/3a
n(x)= (-1/3a)*x


Ich denke jetzt muss ich die Schnittpunkte ausrechnen und danach damit das Integral berechnen oder?

Meine Überlegung:

fa(x) = n(x)

3ax- 1/3x³ = -1/3a * x || + (1/3a)*x
-1/3x³ +3ax+(1/3a)*x = 0 || *(-3)
x³-9ax-(1/a)*x=0
x * (x²- 9a-1/a)=0 x1=0 || +9a|+1/2
x² = 9a + 1/a || Wurzel
x = wurzel aus (9a+1/a)

so in der Art nur noch weiterführen? (Steh aufm schlauch was sind 9a +1/a?


danke für Hilfe

greetz