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Extremalprobleme

Frage: Extremalprobleme
(16 Antworten)

 
Das achsenparallele Rechteck unter dem Graphen von f(x) = e^-2x soll minimalen Umfang erhalten. WIe ist der auf dem Graphen von f liegende Punkt P zu beschreiben?


Abbildung: Koordinatensystem x-y Achse
Rechteck A an in der Ecke des Koordinatensystems, e^-2x schneidet den Graph in einem Punkt.

Folgendes habe ich schon:

Hauptbedingung: A(rechteck) = x * y
Nebenbedingung: y = e^-2x
Zusammenfassend: A(x) = x * e^-2x
Ableitung: A`(x) = 1 * e^-2x + x * (-2e^-2x)
A`(x) = e^-2x (x * (-2))
A*(x) = e^-2x * -2x
Habe ich was falsch gemacht?
GAST stellte diese Frage am 15.10.2009 - 19:38

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:08
minimalen umfang, oder?


nicht minimale fläche.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:16
ja, minimalen Umfang.
Achso! Ich habe den Flächeninhalt berechnet.

Umfang(Rechteck) = 2x + 2y
y = e^-2x

=> 2x + 2(e^-2x)
=> 2x + 2e^-2x

U`(x) = 1 + -4e^-2x ?

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:21
besser U`(x)=2-4e^(-2x)

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:26
also:

2-4e^(-2x) = 0

-4e^(-2x) = -2
4e^(-2x) = 2
ln(4e^(-2x)) = ln 2
-2x = ln 2
x = ln 2 / -2

Richtig`?

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:28
tja, so wie es aussieht, machst du denselben fehler nochmal.

teile mal erst durch 4, dann ln anwenden.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:31
2-4e^(-2x) = 0
-4e^(-2x) = -2
4e^(-2x) = 2
e^(-2x) = 1/2
ln (e^(-2x) = ln 1/2
-2x = ln 1/2
x = ln 1/2 / -2

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:37
richtig, oder einfach x=ln(2)/2

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:54
Soll ich jetzt ln(2) /2 in die Hauptbedingung einsetzen?

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 20:56
setze das in f(x) ein.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:00
ln (2) + 2e^-ln(2) = f(ln(2) / 2)
f(ln(2) / 2) = ca. 1,69

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:02
was hast du denn da gemacht?

f(ln(2)/2)=1/2 hätte ich gesagt.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:06
Achso. Ich dachte in U(x) einsetzen.
Also in y wäre das so:

y = e^-ln(2)
y = 0,5

das ist das ergebnis!?

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:07
jetzt kannst du direkt den punkt in kartesischen koordinaten angeben.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:11
Also der Punkt P lautet (ln(2)/2 | 0,5).
In diesem Punkt schneidet der e-Graph, wobei das Rehteck den minimalen Umfang hat.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:15
"In diesem Punkt schneidet der e-Graph"

was soll das heißen?

wenn P(ln(2)/2|1/2), dann hat das rechteck minimalen U, fertig.

 
 Antwort von GAST | 15.10.2009 - 21:17
Mit dem e-Graph meine ich e^-2x. Der Graph soll ja das Rechteck berühren.

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