Wo ist mein Fehler?

ne, f`(x)=e^(x/2)/2


und da e^x/e^(x/2)=e^(x/2) kommt das bei dir auch raus.

Hey philu89, deine Rechnung ist richtig, kein Fehler vorhanden - richtige Ableitung durch Kettenregel ;)

meine frage ist jetzt wie komme ich von
f`(x)= (e hoch x )/ 2* (Wurzel e hoch x)
zu
0,5 * (Wurzel e hoch x)?

meine frage ist jetzt wie komme ich von
f`(x)= (e hoch x )/ 2* (Wurzel e hoch x)
zu
0,5 * (Wurzel e hoch x)?


(e^x) / (2 * wurzel(e^x))
= wurzel(e^2x / (4 * e^x))
= wurzel(e^x / 4)
= 1/2 * wurzel(e^x)

zu kev2002: wurzel(e^x) ist wohl gleich e^(x/2), ich habs mit geogebra gezeichnet und beide kurven stimmen überein

[quote]p.p.s.: (sorry für den Doppelpost...)

wurzel(e^x) ist nicht gleich e^(x/2)! Wurzel fungiert als Klammer, und

(e^x)^(1/2) ist ungleich e^x^(1/2)!

Beispiel:
wurzel((-1)^2) = ((-1)^2)^(1/2) = 1^(1/2) = wurzel(1) = 1
angenommen, es gälte das oben zitierte "Gesetz", dann wäre
wurzel((-1)^2) = ((-1)^2)^(1/2) "=" (-1)^(2 * 1/2) = (-1)^(1) = -1
Widerspruch, wurzel((-1)^2) = 1, nicht -1![quote]

das ist einfach blödsinn...

wurzel(x)=x^(1/2)
wurzel(e^x)=(e^x)^(1/2)=e^(x*1/2)=e^(x/2)

das beispiel, das du bringst gehört auch nicht zu dem thema und lässt sich ganz einfach erklären:
-1 ist negativ, und das entsprechende potenzgesetz gilt nicht für negative basen und alle reellen exponenten. (e ist aber glaube ich eine positive zahl)

warum?
weil man es so festlegt!

im übrigen kann man das auf die komplexe ebene erweitern:
dann ist wurzel(1)={1;-1}

wurzel(1) ist also beides, 1 und -1.
also ist das übrigens auch keine funktion, wenn man alle nebenwerte der wurzel betrachtet

aber das nur nebenbei, das beispiel ist völlig daneben gegriffen...

auch ist festzustellen, dass du das gesetz, das du selber als nicht gültig abstempelst verwendest
schon komisch

och mann, was redest du da für einen wirren kram. haltlos.

"Ich muss dir da widersprechen. Die e-Funktion ist deswegen eine Ausnahme von der Regel, weil e^x nur positive Werte annimmt. Das habe ich bei meiner Begründung vorhin übersehen, gebe ich zu."

das ist wieder falsch.

gibt verschiedene definitionsmöglichkeiten.
bei einer gilt das potenzgesetz für nichtnegative basen und reelle exponenten. es kommt auf base und exponent an, nicht auf die potenz.

"f(x)=wurzel(x^2) entweder

a) f für negative x nicht definiert oder
b) f(x)=x (denn: wurzel(x^2) = (x^2)^(1/2) "=" x^(2 * 1/2) = x)"

nein, da hast du was grundlegendes nicht verstanden.
es gilt nach dem potenzgesetz: x²^(1/2)=x für x>0
d.h. die funktion ist undefiniert für x<=0, für x>0 existiert sie und ist dort identisch mit x
warum man sie nicht für x<0 oder x<=0 definiert mag an den bösen eigenschaften der reellen zahlen liegen.
ich habe mir diese definition der reellen potenz nicht ausgedacht.

"Was das Problem ist: die Annahme, dass für x>=0 wurzel(x^2)=x gilt, ist naheliegend, müsste aber in einer Klausursituation erstmal bewiesen werden - sonst droht Punktabzug (im Studium würde man dir das Gleichheitszeichen einfach durchstreichen und die Aufgabe gäbe insgesamt 0 Punkte, wenn der Rest darauf aufbaut - aus eigener Erfahrung)"

grundsätzlich ja, allerdings ist der beweis trivial und wird oftmals nicht gefordert.
(zumal grundsätzliches in der vorlesung bzw in den übungen behandelt wird und benutz werden darf)
außerdem besteht die möglichkeit, das axiomatisch zu verankern, dann kann man sich einen beweis schenken.
kommt eben darauf an, welche prämissen man in der vorlesung aufstellt.

"Die erste Variante, die Funktion nach Kettenregel abzuleiten, war der deutlich sicherere und mathematisch korrekte Weg. Dass der andere in diesem Spezialfall auch geht, daran hab ich in der Sekunde nicht gedacht"

der gilt nicht nur in diesem spezialfall, sondern für jede potenz, wie man sie als reellwertige funktion definiert

dass das der sicherere weg ist, ist deine subjektive meinung, die auf keine mathematischen tatsachen gestützt ist und werden kann.
in der hinsicht bin ich ganz pragmatisch: er hat diesen weg gewählt (wohl als erstes), er hats richtig gelöst (nur nicht zuende vereinfacht), also ist es der bessere weg für ihn.
ich hätts anders gelöst, auf eine für meine denkweise schnellere art.

"Was die komplexe Ebene angeht, so ist wurzel(1) = 1 - die komplexe Ebene kommt nur in Betracht, wenn du aus negativen Zahlen radizieren willst, z.B. ist wurzel(-1)=i - imaginäre Einheit, gehöhrt hier aber nicht her, ist zu hoch für den Schulstoff bzw. auch der Betrachtung nicht wert."

das ist wieder falsch.
anschainend hast du da zu wenig ahnung in dem themenkomplex.
die wurzel wird im komplexen völlig anders definiert, sie ist dort nicht eindeutig, das hat übrigens ein gewisser herr gauß um 1800 bewiesen, er zeigte nämlich: in C zerfällt jedes nicht konstantes polynom in genau n linearfaktoren, die nicht zwangsweise verschieden sein müssen. damit ist die n-te wurzel eine n-elementige menge - nach der def. der wurzel im komplexen.
lässt sich sogar zeigen, dass es es genau n verschiedene n-te wurzeln gibt
man kann ja schreiben: 1^(1/2)=e^(pi*i+pi*i*k) mit k aus Z.
du siehst: für jedes k aus Z gilt: Im(z)=0
allerdings wechselt Re(z) zwischen 1 und -1.
die quadratwurzel ist also 2 deutig, sind zwei zahlen.
für funktionstheoretische betrachtungen sagt man dann oft phi aus [-pi/2;pi/2) um eindeutigkeit zu gewährleisten.
dann würde eine wurzel wegfallen.
selbe kann man bei -1 machen, hier ist nur das argument pi+2pik (k aus Z), deshalb fällt auch der sinusterm nicht weg, sprich Im(z)<>0.

an dieser stelle sei auch das schöne buch funktionentheorie von fischer/lieb empfohlen, aus dem ich mal zitieren darf (S.125):

Zitat:
Wir bemerken ohne beweis, daß es auf einem Gebiet G Untermenge C* auch nur dann eine stetige Funktion f mit (f(z))^n=z geben kann (n>=2), wenn auf G eine logarithmusfunktion existiert [...].
Zweige der Potenzfunktion (mit beliebigem Exponenten) existieren insbesondere auf einfach zusammenhängenden Gebieten, die den Nullpunkt nicht enthalten.
Diejenige Potenzfunktion, die auf der längs der negativen reellen Achse aufgeschnittenen Ebene mittels des Hauptzweiges des Logarithmus definiert werden, nennt man auch Hauptzweig (oder Hauptwert) der betreffenden Potenz. Für reelle b stimmt der Hauptzweig von z^b auf der positiven reellen Achse mit der gewohnten Potenz x-->x^b überein

du siehst, die sprechen nicht mal von wurzeln (im ganzen buch nicht), sondern von potenzen.
im komplexen ist eben die wurzel nur ein kleiner spezialfall, der keiner besonderer betrachtung bedarf, eigentlich gibt es dort nicht mal wurzeln
im reellen ist das etwas komplizierter, eben weil die wurzel dort anders definiert wird, und anders definiert werden muss.
dies ist eine folge der algebraischen unvollständigkeit von R.

das verständnis des mathematikers von komplexen zahlen geht weit über dein verständnis hinaus, wie du an dem zitat vielleicht merkst.
für mathematiker sind die komplexen zahlen nicht unbedingt dafür da, um aus negativen zahlen wurzeln ziehen zu können.
nein, vielmehr kann man mit diesem hilfskonstrukt, das aus R gewonnen werden kann, die mathematik aus einem völlig anderen gesichtspunkt betrachtet werden. so lassen sich auch viele sachen durch einführung von C wesentlich eleganter lösen.
und wir brauchen sie eigentlich auch nicht für wurzeln aus negativen zahlen, sondern definieren mithilfe dieser zahlen komplexe operatoren, und damit komplexe wellengleichungen
diese verflixten zahlen treten auch überall auf...(irgendwie muss ich da grad an dirac matrizen denken, wieso auch immer)
wenn du sagst, dass sei der betrachtung nicht wert, löst du nicht nur bei mir kopfschütteln aus, sondern bei schätzungsweise allen funktionstheoretikern.
diese andere art zu ... denken - muss ich fast schon sagen - ist sehr oft eine betrachtung wert, hier auch.
das einzige was gegen diese betrachtung spricht ist das schulniveau hier.
meine fingergymnastik sei mir trotzdem hoffentlich verziehen

"Was meinst du mit "auch ist festzustellen, dass du das gesetz, das du selber als nicht gültig abstempelst verwendest"? Ich habe es aus Demonstrationszwecken im Beispiel angewendet, um zu zeigen, dass es nicht klappt, ansonsten aber nicht, oder?"

nun ja...

welches gesetz verwendest du hier:
"wurzel(e^2x / (4 * e^x))
= wurzel(e^x / 4)"

kommen ja im prinzip nur 2 in betracht, und aus dem einen kann man das andere herleiten (mit paar hilfsmitteln)

nächstes mal bitte besser informieren, bevor du, wie wild, scharfe pfeile durch die gegend feuerst.

""Zu jeder reellen Zahl a>0 und jeder natürlichen Zahl k gibt es genau eine reelle Zahl y>0 mit y^k = a."

Sei a = x^2>0 (direkte Folgerung aus den Körper- und Anordnungsaxiomen), wie es bei der Funktion f von oben der Fall war, dann ist deine These haltlos, dass x>0 sein muss. Das Zitat stammt aus dem Königsberger, da war`s am schnellsten zu finden ;)"

oh je, anscheinend verstehst du grundlegende sachen überhaupt nicht...
es ist x^b:=exp(b*ln(x)) für x<=0 existiert ln im reellen nicht, also nicht definiert für x<=0.

um auf diesen widerspruch nicht zu stoßen verbiete ich praktisch alle nichtpositiven zahlen für x einzusetzen.
man will ja die mathematik möglichst widerspruchsfrei gestallten.

du fügst ja selber diese widersprüche an, sagst dann trotzdem: gilt immer!

da werden sich die mathematiker über die neu gefundenen widersprüche in der mathematik freuen

was denkst du, warum die y>0 sagen?
weil gerade für y<=0 die potenz nicht definiert wird.
das zitat ist also eine bestätigung für meine these.
hat natürlich einen netten nebeneffekt, das so zu definieren:
die potenzfunktion ist dann bijektiv

"für x=0 ist der Fall trivial, die Quadratwurzel aus 0 ist kein allzu großes mathematisches Rätsel (der Satz oben schließt das zwar nicht mit ein, aber wir brauchen uns jetzt nicht darüber zu unterhalten, dass wurzel(0) existiert, oder?)."

wenn man sich den grenzwert anschaut für x-->0, dann geht ln(x) gegen -unendlich und somit exp(b*ln(x)) gegen 0.
ob man es auch für x=0 definiert kommt auf den zusammenhang an.
ist ne sache von sachgemäß und unsachgemäß, nicht von richtig und falsch.

"Man könnte also die Funktion genausogut so definieren (mir fehlt jetzt leider die tolle große geschweifte Klammer, dann sähe das noch viel cooler aus...):

f(x)=wurzel(x^2) =

- -x falls x<0
- (0 falls x=0)
- x falls x>0
= |x| (Absolutbetrag)

Sind wir uns da einig (bitte, bitte!)?"

wie gesagt: widersprüche.
um auf diese nicht zu kommen, müsstest du die potenz schon im komplexen definieren, da reden wir dann eben von zweigen von ln und der potenz.

"Das heißt, das hier die Fallunterscheidung von oben nicht greift, der Definitionsbereich für x ist zwar ganz R, aber für e^x eben nur R_+."

exp(x) ist ja auch eine oder die exponentialfunktion, keine potenzfunktion.
warum die potenzgesetze gelten liegt aber daran, dass e positiv ist und x irgendeine reelle zahl.
wenn e negativ wäre, hätten wir wieder probleme
dann wäre 1=-1 z.b., was man wiederum durch die erweiterung auf R² beheben könnte.

"(e^x) / (2 * wurzel(e^x))
= wurzel(e^2x / (4 * e^x))"

was sagst du übrigens dazu?
e^x=wurzel(e^(2x))?

"Was die komplexe Ebene angeht. Ja, n-te (Einheits-)Wurzeln und ihre n verschiedenen Lösungen in C sind mir bewusst, spielen aber deswegen keine Rolle, weil das den Schulstoff sprengt."

ändert aber nichts an der falschheit deiner aussage, dass wurzel(1)=1 im komplexen.
da kannŽs dir noch so bewusst sein.

"Ich warnte nur davor, Gesetze anzuwenden, deren Gültigkeit unter Umständen eingeschränkt sein könnte."

und dann schreibst du: das gesetz gilt nicht, wählst eine für den zusammenhang unsinniges beispiel (habe ich ja schon erläutert) und schreibst weiterhin im nächsten post: gesetz gilt für alle x, obwohl du vorher noch ein beispiel gebracht hast, wo es scheinbar nicht gilt.
von einschränkungen überhaupt keine rede, nur allgemeine aussagen.

widersprüche gefallen dir, nicht?

da fällt mir noch eine interessante frage ein ... in dem zusammenhang:
was ist die definitionsmenge der umkehrfunktion von f(x)=x^3?

du verrennst dich da in was, mein lieber...

ln(x²)=2*ln(x)
was ist das?

das gesetz muss man als gültig betrachten, sonst wäre die definition sinnlos.
ln(x²)=2*ln(x) kann aber auch nicht stimmen, weil die definitionsmengen unterschiedlich sind.
somit sagen wir x>0 und sind fertig

"wurzel(0) als Null zu setzen ist hier sicher ganz sinnvoll, ich denk, die Definition kann man dahingehend erweitern, ohne auf Widersprüche zu treffen"

für dich ist es ganz sinnvoll
kommt trotzdem darauf an, was man mit der funktion will.

"Was nun sollte mich davon abhalten, für x den Wert -5 einzusetzen?! Rein gar nichts, denn was unter der Wurzel steht, muss zuerst berechnet werden und dann wird die Wurzel gezogen - ob nach Definition mit e oder eben "per Hand":"

du argumentierst über: darf ich einsetzen, da mein taschenrechner mir kein error einzeigt
mathematiker sagen dazu blödsinn.
ln von negativen zahlen (-5 ist negativ) ist nicht definiert und nach der definition der potenz auch nicht die potenz.
so einfach ist das.
mathematischer formalismus...

"Hier könnte man versucht sein, da x<0 ist, rumzunörgeln, dass ln x undefiniert ist. Das Problem ist aber, dass hier die Definition einfach wirklich nur den Fall betrachtet, dass x>0 gilt. Oder willst du mir sagen, dass man (-5)^2 nicht berechnen kann? Ich hab`s oben getan... entweder ich bin ein Magier, oder deine Definition ist nur die halbe Wahrheit und die andere Hälfte kommt erst noch ;)"

natürlich betrachtet die definition nur den fall x>0, hab ich ja gesagt
diese definition hat viele vorteile, ob duŽs glaubst oder nicht.
z.b. (was ich schon genannt habe) die funktion ist dann umkehrbar.
die potenzgesetze gelten dann immer, man stößt nicht so auf widersprüche a la wurzel((-1)²)=1, aber (-1)^1=-1.
natürlich kann man (-5)² berechnen, nur geraten wir dann schnell in schwierigkeiten. und nach der definition gibt es kein (-5)², ganz einfach.

"(um mal eine viel coolere "Definition" zu verwenden) (-1)*(-1)*(-1)=-1 ..."
diese definition wäre dann auch nicht für negative basen definiert

diese definition mit exp(...) ist tatsächlich wohl die beste aller definitionen der potenz.
warum?

zu den genannten gründen kommt folgendes hinzu:

man kann sie ganz leicht auf C übertragen.
dort ist (-1)² definiert, dort stößt man auch nicht auf die widersprüche, (beispiel:) weil 1 der hauptwert von wurzel(1) ist und -1 der nebenwert.
auch lässt sich dort natürlich der logarithmus von negativen argumenten berechnen. und und und...

nun gut, ich gebe direkt zu (was ich vorher indirekt gesagt habe, falls du es nicht bemerkt hast): die definition ist nicht ganz befriedigend, da nur a>0.

deine definition ist wohl noch unvollständiger.
paar gründe habe ich genannt, ein anderer, der mir grad einfällt, ist:
wenn die menge aller basen M ist, dann gilt nach deiner definition:
|M|=aleph0, bei mir wäre |M|>aleph0

scherz bei seite: eine kombination der definitionen wäre auch keine saubere lösung des problems.
was machen wir dann (hab ich auch schon paar mal gesagt)
wir definieren a aus C*
dann hätten wir uns nur noch um eindeutigkeit zu kümmern, was schnell getan ist.
ln(a) wäre ja für a aus R- eine imaginäre zahl, und a^b wäre dann vielleicht sogar reell
für x=0 hätten wir dann hebbare singularität, die man leicht beheben könnte

und das mit kurvendiskussion lassen wir lieber.
in der schulmathematik sieht man sowieso sachen weniger streng.

und in diesem satz, sehe ich keinen sinn:
"die unter ihren gegebenen Voraussetzungen ja auch stimmt"

eine definition die stimmt also? interessant.
du kannst nicht sagen: die def. ist falsch oder richtig, eher schon: sie gibt sinn oder keinen.

"auch wenn mein Taschenrechner sehr gut weiß, dass z.B. wurzel(-1) kein reelles Ergebnis liefert."

und was zeigt er bei (-1)^(1/3) an?