Vollständige Induktion: Aufgaben
Frage: Vollständige Induktion: Aufgaben(2 Antworten)
A(n): n^3+6n^2+14n ist stets durch 3 teilbar. |
| Frage von mustafa_00 (ehem. Mitglied) | am 17.12.2008 - 22:15 |
| Antwort von GAST | 17.12.2008 - 22:22 |
n=1: 1+6+14=21 ist durch 3 teilbar nun zeige, (n+1)³+6(n+1)²+14(n+1)=n³+3n²+3n+1+6n²+12n+6+14n+14=(n³+6n²+14n)+ 3(n²+5n+7) n³+6n²+13n ist nach voraussetzung durch 3 teilbar, n²+5n+7 ist eine natürliche zahl, also ist auch 3(n²+5n+7) durch 3 teilbar, somit ist auch (n+1)³+6(n+1)²+14(n+1) durch 3 teilbar q.e.d. |
| Antwort von GAST | 17.12.2008 - 22:26 |
übrigens müsste man eigentlich noch zeigen, dass wenn a und b durch 3 teilbar sind, auch die summe durch 3 teilbar ist. dieser beweis ist aber trivial. es lässt sich a so schreiben: a=3n und b so: b=3m (n,m aus N) 3n+3m=3(n+m) [anwendung des DG], die summe zweier natürlicher zahlen ist wegen abgeschlossenheit von N bezüglich addition natürlich, damit ist 3(n+m), also auch a+b, durch 3 teilbar |
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