Funktion y=0,5x^2*e^-0.5x

Hey,

ich hab ein Problem mit einer Hausaufgabe.


Gegeben sei eine Funktion y=0,5x^2*e^-0.5x. Davon sollen Nullstelle, die Koordinaten der lokalen Extrempunkte und deren Art (Also Hochpunkt Tiefpunkt) und Koordinaten der Wendepunkte des Graphen der Funktion f angegeben werden.

So, nun hab ich bereits raus:
Nullstelle bei (0/0). Die Funktion besitzt keine Extrempunkte. Ist das bis hierhin richtig?

So weit schneid ich mit. Nun sollen wir eine Gleichung der quadratischen Funktion g ermitteln, deren Graph durch den Koordinatenursprung geht und im Punkt P(2/2) einen lokalen Extrempunkt hat. Nun sollen wir die Schnittpunkte der Funktionen f und g bestimmen.
Ich habe als Gleichung y=-0,5x^2+2x durch probieren rausgekriegt. Schön und gut, aber wie kommt man eigentlich rechnerisch auf die Gleichung?

Als weitere Aufgabe ist gegeben, das es genau eine Tangente an den Graphen der Funktion f gibt, die zur Geraden mit der Gleichung y=-3ex parallel ist. Nun sollen wir die Gleichung der Tangente ermitteln.
Ich hab keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll...? Ansatz?

So. Und jetzt kommt der Höhepunkt, bei dem ich weniger als 0 plan habe - ich versteh die Aufgabe nicht mal Ansatzweise:

"Für jede Zahl t (t Element R, t > 0) ist eine Funktion f durch y=tx^2*e^-0.5x gegeben. Der Graph der Funktion f besitzt genau einen lokalen Maximumpunkt. Zeigen Sie, dass alle diese Punkte auf einer Geraden liegen. Geben Sie eine Gleichung der Geraden an. Begründen Sie, dass es keine Zahl t gibt, so dass der lokale Maximumpunkt der Funktion f, unterhalb der x-Achse liegt."

Bitte um Hilfe, ich bin am verzweifeln.

lg