integralrechnung

wenn du eine in I stetige funktion hast, sagen wir mal f(x)=x², dann kannst du den flächeninhalt zwischen graph von f und x-achse im intervall I nicht direkt bestimmen, du näherst den flächeninhalt durch rechtecke an und bildest den grenzübergang: breite der rechtecke-->0.


den grenzübergang führst du dann durch, wenn du den flächeninhalt sonst nicht genau bestimmen könntest, d.h. bei f(x)=2 wäre es unsinnig irgendwas mit limes zu schaffen, weil man den flächeinhalt auch ohne grenzwert locker angeben kann.

n ist ja die anzahl der rechtecke bei dir, die lässt du gegen unendlich laufen, wendest ein paar grenzwertsätze eventuell an und schon hast du den exakten flächeninhalt

ganz leicht?

dann bestimme mal bitte den grenzwert von O(n)=arctan(x+h)*sin(x)/cos(x), falls existent für beliebiges h.

nicht unbedingt.

den grenzwert von obersumme und untersumme stimmt ja, bei so genannten riemann-integrierbaren funktionen, die ihr untersucht, überein, d.h. es reicht aus, wenn du nur untersumme oder nur obersumme untersuchst.

"aber woher weiß ich, dass es genau dieser wert ist?"

welcher wert?

du meinst, warum flächeninhalt=grenzwert von O(n) für n-->unendlich?

wenn wir unendlich viele rechtecke, die unendlich schmal sind reinlegen, dann haben wir ein gebilde, dass den graphen der funktion und die x-achse berührt, es gibt dann keine lücke mehr, zwischen dem graphen der funktion und den rechtecken

du setzt eigentlich keine werte für n ein.

was du machst ist, eine formel für O(n) aufstellen, in abhängigkeit von n.

dann lässt du n gegen unendlich laufen.

z.b. O(n)=1/(3n³)*(2n+1)(n-1)n

lim n-->unendlich O(n)=2/3

zerlegen in 3, von n abhängige, faktoren:

O(n)=1/(3n³)*(2n+1)(n-1)n=1/3*[(2n+1)/n]*[(n-1)/n]*[n/n]

jetzt grenzwertsatz für produkte anwenden.

grenzwert von 1/3 ist 1/3.
grenzwert von faktor 2 ist 2
grenzwert von faktoren 3 und 4 ist 1.

somit g=1/3*2*1*1=2/3