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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Vektoren > Dokumentation über die U-Boot Aufgabe Thema Analytische Geometrie

Dokumentation

Im Folgenden berichte ich Ihnen die Ausarbeitung der schriftlichen Dokumentation über meine Klausurersatzleistung in Form einer Präsentationsleistung auf erhöhtem Anforderungsniveau im Fach Mathematik.
Das Thema dieser Facharbeit ist aus der schriftlichen Abiturprüfung Teil 2 von September 2009, der Analytischen Geometrie und beinhaltet die "U-Boot" Aufgabe 14 auf der Seite 36. Ich sehe es vor meine Präsentation in Form einer Power Point Präsentation vorzutragen.
Die Aufgabenstellung sowie meine Lösungsansätze lauten:
Während einer Forschungsfahrt tritt ein U-Boot am Punkt P(1200| 0| -540) -alle Angaben in m- in den Überwachungsbereich seines Begleitschiffes ein. Die Überwachung erfolgt durch SONAR (Sound Navigation and Ranging). Das Begleitschiff ruht im Ursprung des Koordinatensystems.
Bei der Darstellung von Punkten und Bewegungen durch Vektoren soll die x1-Achse nach Süden zeigen, die x2-Achse nach Osten und die x3-Achse in vertikaler Richtung nach oben. Im Folgenden entspricht eine Längeneinheit 100 m in der Realität.
Zeichnen Sie die Standorte von U-Boot und Begleitschiff in ein Koordinatensystem ein.
1 LE ≙ 100 m, der Verkürzungsfaktor in x1-Richtung beträgt 0,5⋅√2 und der Winkel zwischen x1 und x2-Achse ist 135° groß.
Lösungsansatz:
Ich würde ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem zeichnen, anschließend wie nach der Aufgabe vorgegeben beschriften (x1-Ebene=SÜD, x2-Ebene=Ost und x3-Ebene=Vertikal nach oben) und die Koordinaten des U-Boots (x1-, x2- und x3-Komponente) einzeichnen, damit ich weiß, wo sich das U-Boot befindet. Das Begleitschiff befindet sich im Ursprung, dass heißt es ruht im Punkt ( 0| 0| 0).

Der Kapitän des U-Boots teilt mit, dass er Kurs Nordost mit gleich bleibender Tiefe fährt.
Geben Sie eine Gleichung einer Geraden g an, die die Fahrtroute des U-Bootes beschreibt.
Lösungsansatz: Die Parametergleichung g lautet in diesem Fall g: □(→┬x ) = (█(1200@0@-540)) + r ⋅ (█(-1@1@0)), r ∈|R.
Da sich das U-Boot in Richtung Nordost mit gleichbleibender Tiefe bewegt, bedeutet dies für den Richtungsvektor, dass die dritte Komponente für die x3-Ebene sich nicht verändert, daraus folgt die Null beim Richtungsvektor. Minus eins an der x1-Komponente deshalb, weil die Fahrtrichtung des U-Boots in negative x1-Richtung geht, wegen der Richtung Nordost. Eins bei der x2-Komponente, weil dies die Nordost Route beschreibt. Und r ist das Vielfache des Richtungsvektors der Gerade, weil die Gerade g keinen Anfang und kein Ende hat. Der Stützvektor ■(→@p) = (█(1200@0@-540)) ergibt sich durch den Punkt P bzw. dem Ortsvektor durch die Strecke aus ¯OP =(█(1200-0@0-0@-540-0)).

Am Punkt R(400| 800| -540) ändert das U-Boot seine Fahrtrichtung und fährt in Richtung des Richtungsvektors
□(→┬w ) =(█(-8@-13@9)) weiter.
-Bestimmen Sie, um wie viel Grad sich das U-Boot bezüglich der horizontalen Ebene gedreht hat und berechnen Sie den Steigungswinkel bezüglich der horizontalen Ebene.
Lösungsansatz: Hierbei soll der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden auf einer Ebene berechnet werden. Und zwar der Schnittwinkel auf der x1-, x2-Ebene, der auf der gleichbleibenden Tiefe so zu sagen liegt. Man berechnet dies mit der Formel cos ∝ = |■(→&→@v1 ∙&v2)|/(|█(→@v1)|∙|█(→@v2)| ) , █(→@v1) und █(→@v2) sind hierbei die Richtungsvektoren der Geraden.
Bekannt sind die zwei Geraden durch die Richtungsvektoren (v1) ⃗ = (█(-1@1@0)) und (w1) ⃗=(█(-8@-13@0)).
Man setzt die beiden Richtungsvektoren in die Formel ein und rechnet den Winkel auf der horizontalen Ebene aus. Das Ergebnis bzw. der Winkel beträgt α ≈76,6°. Der Steigungswinkel zur horizontalen Ebene wäre diesbezüglich die Berechnung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene, diese Formel dafür lautet: sin β=|■(→&→@w ∙&n)|/(|█(→@w)|∙|█(→@n)| ) Der Richtungsvektor ist gegeben →┬w = (█(-8@-13@9)) und der Normalenvektor ist orthogonal zur x1- und x2-Ebene, daraus folgt →┬n = (█(0@0@1)). Diese Vektoren werden in die genannte Formel eingesetzt um somit den Steigungswinkel zu berechnen. Dieser Steigungswinkel beträgt β≈30,5° .
-Bestimmen Sie den Punkt T, an dem das U-Boot die Wasseroberfläche erreicht. Lösungsansatz: Wir wollen den Schnittpunkt zwischen der Gerade h und der x1- und x2-Ebene herausbekommen, denn das wäre der Punkt T an dem das U-Boot die Wasseroberfläche betritt. Um die Koordinaten des Punktes T zu bestimmen, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein. Ein Punkt auf der Gerade h und der Richtungsvektor der Gerade h muss bekannt sein, so stellt man die vektorielle Parametergleichung auf. Die Bedingungen dafür sind erfüllt, denn der Punkt R ist bekannt mit den Koordinaten (400| 800| -540) und der Richtungsvektor □(→┬w )= (█(-8@-13@9)) ist auch bekannt. Daraus folgt die Parametergleichung h: x ⃗ =(█(400@800@-540)) + r ∙ (█(-8@-13@9))
daraus folgt, (█(x1@x2@x3)) = (█(400@800@-540)) + r ∙ (█(-8@-13@9)), r ∈ |R
Gesucht ist r, so dass die x3-Komponente Null wird. Also gilt x1 = 400 - 8r und x2 = 800 - 13r. Aus der x3-Komponente folgt -540 + 9r = 0, r ist gleich 60. Für r = 60 wird also die x3 Komponente 0, das heißt, dass das U-Boot an der Wasseroberfläche ankommt. Dieser Wert von r wird in die Gleichung von h eingesetzt und es ergibt sich h: (█(-80@20@0)) = (█(400@800@-540))+ 60 ∙ (█(-8@-13@9)). Somit erhalten wir die Koordinaten für den Punkt T mit ( -80| 20| 0).
-Zeichnen Sie in Ihr Koordinatensystem die Bahn des U-Boots zwischen R und T ein. Lösungsansatz: Hierbei würde ich in das dreidimensionale kartesisches Koordinatensystem die Gerade h vom Punkt R (400| 800| -540) bis zur Wasseroberfläche zum Punkt T ( -80|20| 0) durchziehen.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts S, an dem das U-Boot bezüglich der Fahrt vom Aufgabenteil c) den geringsten Abstand zum Begleitschiff hat.
Lösungsansatz: Der Abstand eines Punktes auf der Geraden h zum Ursprung O ( 0| 0| 0) ergibt sich aus: d (s) = (█(400@800@-540)) + s ∙ (█(-8@-13@9)) - (█(0@0@0))
d(s)=(█(400-8s@800-13s@-540+9s))=√((400-8s)^2+ (800-13s)^2+ (-540+9s)²) d (s) =√(〖314s〗^2-36920s-1091600)
Wenn der Radikand extremal ist, dann ist der Wurzelausdruck auch extremal. Das wäre dann f (s) = 314s² - 36920s + 1091600 und f `(s) = 628s – 36920. Die notwendige Bedingung für Extrempunkte ist f `(s) = 0 setzen. Lösen der linearen Gleichung 628s – 36920 = 0 führt zu s ≈ 58,79. Da der Graph von f eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt bei s≈ 58,79 ein Tiefpunkt. Oder man könnte auch die hinreichende Bedingung ansetzen f `` (s) = 628 ist größer als Null und daher kann man ebenfalls ableiten, dass es sich um ein Tiefpunkt handelt. Für S folgt daher: (█(400@800@-540)) + 58,79 ∙ (█(-8@-13@9)) = (█(-70,32@35,73@-10,89))
Also gilt, von allen Punkten der Geraden h hat der Punkt S ( -70,32| 35,73| -10,89) den geringsten Abstand zum Ursprung bzw. zum Begleitschiff.

Nehmen wir an, das U-Boot hätte in R seine Fahrtrichtung nicht verändert und wäre also weiter in gleichbleibender Tiefe Kurs Nordost gefahren.
-Ermitteln Sie den Punkt, an dem es den SONAR-Bereich verlässt.
Lösungsansatz: Der SONAR-Bereich lässt sich vereinfacht als Kugel K auffassen, mit dem Ursprung als Mittelpunkt ( 0| 0| 0). Am Punkt P tritt das U-Boot in den SONAR-Bereich ein, also hat das SONAR eine Reichweite (Radius) von r = ■(→@p) = (█(1200@0@-540)) = √((1200)^2+0²+(-540)²) = √1731600 ≈ 1316 m. Das entspricht dem Abstand (Radius) von P zum Ursprung. Der SONAR-Bereich lässt sich als Kugel K mit dem Radius r vorstellen. Anschließend brauche ich jetzt die Koordinatengleichung der Kugel, um die Entfernung vom Punkt P bis zum Austrittspunkt Q, der an der Kugelbahn schneidet (Grenze des SONAR-Bereiches) zu berechnen. Die Kugelgleichung lautet K: (X – M)² = r², daraus folgt K: □(→┬x ) =[ (█(x1@x2@x3))- (█(0@0@0))〕 ² = r² , daraus folgt K: x² = r².
Also gilt, K: x² ≤ r² = 1731600 m². Gesucht sind die Schnittpunkte von K und g, also wird der Term von g in K eingesetzt und nach s aufgelöst. K: [(█(1200@0@-540)) + s ⋅ (█(-1@1@0))]² = 1731600 m² , damit ich den Austrittspunkt Q erhalte. Ich bekomme zwei Ergebnisse für s1= 0 und s2=1200 heraus. Wenn ich s1 = 0 in die Parametergleichung g einsetze, erhalte ich die Koordinaten des Punktes P (1200| 0| -540) und wenn ich s2 = 1200 einsetzte erhalte ich den Austrittspunkt Q ( 0| 1200| -540).

-Das U-Boot fährt mit einer Geschwindigkeit von 10 kn (kn: Knoten; 1 kn = 1 Seemeile pro Stunde; 1 Seemeile = 1852 m). Bestimmen Sie die Zeitdauer, die sich das U-Boot im SONAR-Bereich befindet.
Lösungsansatz: Gefragt ist nach der Zeit t = Strecke s/ Geschwindigkeit v. Nun muss ich die Strecke zwischen dem Punkt P und dem Austrittspunkt Q ermitteln. Also gilt |(PQ) ⃗| = (█(-1200@1200@0)) = √((-1200)^2+1200²) ≈1697m. T = s/v einsetzen, daraus folgt T = 1697m /18520m/h, m lässt sich weg kürzen und die Zeit bleibt übrig, daraus folgt ein Ergebnis von 0,09163 Stunden, das sind umgerechnet 5,498 Minuten oder 329 Sekunden wo sich das U-Boot im SONAR-Bereich befindet.

Die Entfernung eines Objekts kann mittels SONAR bestimmt werden, wenn man die Zeit misst, die zwischen Ausstrahlung des Ortungssignals und Empfang des reflektierten Signals misst. Die Schallgeschwindigkeit im Wasser beträgt 1,4 km/s.
Lösungsansatz: Misst man die Zeit t, die das Signal braucht, um wieder zurückzukommen, kann man die Entfernung s eines Objekts nach der Gleichung t = s/v berechnen, indem wir diese Formel umstellen, gefragt ist nach der Strecke, also gilt s = v ∙ t umstellen und berechnen. Der Weg einmal hin und zurück bedeutet für die Formel 2∙s = v ∙ t, daraus folgt s = 1/2 t∙ v. v ist gegeben mit 1,4 km/Sek. und t wird gemessen. Somit erhält man die Entfernung.

-Beschreiben Sie eine Methode, mit der man die Geschwindigkeit eines Objektes ermitteln kann, wenn man z.B. alle Sekunde ein Ortungssignal aussendet.
Lösungsansatz: Durch Aussenden eines Signals pro Sekunde und Messen der Zeit bis das Signal zurück gesendet wird, erhält man in jeder Sekunde die Entfernung ( s = v/t , v ist gleich die Schallgeschwindigkeit und t ist gleich die Zeit ). Hat man zweimal die Strecke ermittelt, kann die Durchschnittsgeschwindigkeit ermittelt werden. ( ∆v = Δs/Δt )
Beispiel: ∆v=v2-v1 (Durchschnittsgeschwindigkeit) ;
Beispiel: ∆t=t2-t1 (Differenz der Zeit);
Beispiel: ∆s=s2-s1 (Differenz der Strecken).

-Erhalten Sie mit Ihrer Methode die tatsächliche Geschwindigkeit des Objekts relativ zum (ruhend gedachten) Wasser? Begründen Sie.
Lösungsansatz: Mit dieser Methode erhält man nicht die tatsächliche Geschwindigkeit, sondern den Anteil der Durchschnittsgeschwindigkeit zur Schallquelle hin oder von ihr weg.
Der Prüfer und Fachlehrer für diese Präsentationsleistung wird Herr Gnutzmann sein. Die Präsentation wird in den Räumen der ASH, Abendschule vor dem Holstentor, Holstenglacis 6 in 20355 Hamburg stattfinden. Diesen Vortrag werde ich, Elif Aydin aus dem 3. Semester des Geschichtsprofils "Rückblick bringt Durchblick", Oberstufenklasse P42, am 26./27.03.2013 halten.
Quellennachweise
Internetrecherche: Folgendes Bild aus dem Internet ist von mir zum Nutzungszweck für meine Präsentation entnommen worden, um diese in meine Power Point Präsentation zu kopieren und einzufügen. Zugriff am 14.03.2013 um 14:22 Uhr. Der Name dieses U-Boot Bildes nennt sich Bild1.
Bild1: http://www.google.de/imgres?imgurl=http://www.ipmsdeutschland.de/Marine/Wolf/Rev_U-Boot_TypVIId_144/U-Boot_VII_D_12.jpg&imgrefurl=http://www.ipmsdeutschland.de/Marine/Wolf/Revell_U-Boot_TypVIId_144.html&h=405&w=800&sz=50&tbnid=M2Dr6ufWuS-HcM:&tbnh=61&tbnw=121&zoom=1&usg=__RBeY1AzO4Uv44Su22_wcO9oX1IM=&docid=pWw7cvVwm0XxKM&sa=X&ei=h9NBUbOkAY3JswaQ7YGICg&ved=0CE0Q9QEwCA&dur=2416
Folgende Erklärung:
"Ich versichere, dass die Präsentation von mir selbstständig erarbeitet wurde und ich keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel benutzt habe. Diejenigen Teile der Präsentation, die anderen Werken im Wortlaut oder dem Sinn nach entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht."
Datum und Unterschrift:
Hamburg, den 19.03.2013 ____________________________
Elif Aydin

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